Arrow-Debreu-Gleichgewichtsmodell

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Das Arrow-Debreu Gleichgewichtsmodell (korrekt eigentlich Arrow-Debreu-McKenzie-Modell) ist ein Allgemeines Gleichgewichtsmodell. Es ist nach Gérard Debreu und Kenneth Arrow benannt, die es 1954 veröffentlichten. Nur gelegentlich wird der Finanzmathematiker Lionel W. McKenzie erwähnt, der 1959 einige Verbesserungen hinzufügte. Es handelt sich um eine Weiterentwicklung des von Léon Walras entwickelten Walrasianischen Gleichgewichtsmodells. Dieses Modell, sowie jedes Allgemeine Gleichgewichtsmodell, bildet die Volkswirtschaft als Ganzes ab und untersucht einen gesamtwirtschaftlichen Gleichgewichtszustand.

Die Einführung von zustandsabhängigen Ansprüchen ist für die Finanzierungstheorie von großer Bedeutung. Sie erweitert die Gleichgewichtsanalyse für vollkommene Märkte auf den Fall unsicherer Erwartungen und zeigt, dass es auch auf Güter- und Kapitalmärkten, auf denen Wettbewerb herrscht, zu einem Zustand in der Güter- und Risikoallokation kommt, in dem es nicht möglich ist, ein Individuum besser zu stellen, ohne zugleich ein anderes Individuum schlechter zu stellen (Pareto-Optimum).

Allgemeines[Bearbeiten]

Inhalt[Bearbeiten]

Allgemeine Gleichgewichtsmodelle stellen eine hypothetische Ökonomie dar, in der alle Konsumenten vollständige, reflexive und transitive Präferenzen über ihre Konsummöglichkeitenmengen haben, also rational sind. Das Modell ist die größt mögliche mikrofundierte Beschreibung einer Ökonomie und beschreibt, wie Konsumenten und Produzenten, gegeben eine gewisse Anfangsausstatung, gleichzeitig Konsum und Produktion wählen. Ziel dieses Modells ist es, allgemeine Allokationen und das Gleichgewicht einer Ökonomie zu untersuchen, ohne auf das Konzept von Partialmärkten zurückzugreifen.

Geschichte[Bearbeiten]

Der erste Versuch in der Neoklassischen Theorie, ein umfassendes Modell zur Bestimmung der relativen Preise in einer Ökonomie zu entwickeln, stammt von Léon Walras, dem Begründer der Lausanner Schule. Er wollte aus der Klassischen Nationalökonomie von Adam Smith und David Ricardo eine „exakte Wissenschaft“ machen. Daher versuchte er, die Wirtschaft mathematisch zu beschreiben. Abraham Wald und später Maurice Allais, Kenneth Arrow und Gérard Debreu beschrieben die Existenz und die Stabilität eines Allgemeinen Gleichgewichts für eine Marktwirtschaft mit Privateigentum. Arrow, Allais und Debreu erhielten für ihre Arbeiten zur Allgemeinen Gleichgewichtstheorie (AGT) den Wirtschaftsnobelpreis.

Beschreibung der Ökonomie[Bearbeiten]

Bestandteile[Bearbeiten]

Im Arrow-Debreu Gleichgewichtsmodell wird angenommen, dass sich eine Ökonomie durch folgende vier Mengen ausdrücken lässt:

(i) Der Güterraum:

 \R^{l} beschreibt Qualität, Ort und Zeit der Verfügbarkeit von Gütern. Wenn es n verschiedene Güter gibt die jeweils an bis zu  a_{1} verschiedenen Orten und  a_{2} verschiedenen Zeitpunkten vorhanden sind und jeweils zu bis zu  a_{3} verschiedenen Qualitäten, dann ist die Dimension des Güterraums l bestimmt durch  l = n a_{1} a_{2} a_{3}

(ii) Der Konsumsektor:

Der Konsumsektor wird beschrieben durch  (X_{i}, \succeq_{i})_{i \in I} . Hierbei ist  X_{i} \in \R^{l} die Konsummöglichkeitenmenge des Konsumenten  i \in I ist, also die Menge aller für i möglichen Kosumbündel, I die Menge aller Konsumenten und  \succeq_{i} die Präferenzrelation des Konsumenten i. Es wird also implizit davon ausgegangen, dass das Konsumverhalten aller Konsumenten als ein homo oeconomicus Modell über die Konsummöglichkeitenmenge beschrieben werden kann.

(iii) Der Produktionssektor:

Der Produktionssektor wird beschrieben durch  (Y_{j})_{j \in J} . Hierbei ist J die Menge aller Unternehmen und das Vorzeichen eines Vektoreintrages von  y \in Y_{j} wird folgendermaßen interpretiert:

 y_{k}<0 \quad Produzent j nutzt Gut k als Input (z.B. Arbeitsleistung, Rohstoffe)
 y_{k}>0 \quad Produzent j produziert Gut k als Output (z.B. Konsumgut)

(iv) Der Ressourcenvektor:

 e \in \R^{l} beschreibt alle Ressourcen die der Ökonomie zu Beginn der Betrachtung zur Verfügung stehen.

Gesamtökonomie[Bearbeiten]

Eine Gesamtökonomie wird im Arrow-Debreu Gleichgewichtsmodell beschrieben durch  \xi = (\R^{l},(X_{i}, \succeq_{i})_{i \in I},(Y_{j})_{j \in J},e) .

Eine Erweiterung dieser Beschreibung einer Ökonomie ist eine Ökonomie mit Privateigentum  E = (\R^{l},(X_{i}, \succeq_{i},e_{i})_{i \in I},(Y_{j})_{j \in J},(\theta_{i,j})_{j \in J,i \in I}) .

Hierbei stellt (\theta_{i,j})_{j \in J,i \in I} den Besitz der Konsumenten an den Unternehmen dar. \theta_{i,j}\in [0,1] drückt aus wie viel vom Unternehmen j dem Konsumenten i gehört. Da jedes Unternehmen j vollständig im Besitz von Konsumenten ist, gilt \sum_{i \in I}\theta_{i,j}=1. Außerdem drückt e_{i} aus, wie viel von den Ressourcen, die zu Anfang vorhanden sind, dem Konsumenten i gehört. Es gilt also \sum_{i \in I}e_{i}=e

Das Walrasianische Gleichgewicht[Bearbeiten]

Ökonomie mit vollkommenem Wettbewerb[Bearbeiten]

Eine Ökonomie mit Privateigentum und vollkommenem Wettbewerb zeichnet sich im Besonderen dadurch aus, dass es einen Preisvektor  p \in \R^{l} gibt, der einen Preis für alle Güter und Ressourcen spezifiziert und dass jeder Konsument ein beschränktes Budget besitzt   B_{i}(p,w_{i})=\{x_{i} \in X_{i}| px_{i}(p) \leq w_{i} \} wobei  w_{i}(p) = p e_{i} + \sum_{j \in J}\theta_{i,j} p y_{j} das Vermögen von  i \in I ausdrückt.

 X^{*}_{i}(p,w_{i}(p))=\{x^{*}_{i} \in X_{i}| x^{*}_{i} \succsim x_{i} ,x^{*}_{i} \in B_{i}(p,w_{i}) \} bezeichnet dann die Menge aller für den Konsumenten i gemäß seiner Präferenzen optimalen Kosumpläne für einen gegebenen Preisvektor p und  Y^{*}_{j}(p)=\{y^{*}_{i} \in Y_{j}| py^{*}_{j} \geq py_{j}  , y_{j} \in Y_{j} \} die Menge aller gewinnmaximierenden Produktionspläne für einen gegebenen Preisvektor p. (Es wird im Arrow-Debreu-Modell also nicht davon ausgegangen, dass die Optimierungsprobleme von Konsumenten und Unternehmen stets eindeutige Lösungen haben müssen.)

Walrasianisches Gleichgewicht[Bearbeiten]

Ein Gleichgewicht ist ein Zustand  (p^{*}, (x^{*}_{i})_{i \in I},(y^{*}_{j})_{j \in J}) mit

(i) p^{*} \in \R^{l}
(ii) x^{*}_{i} \in X^{*}_{i}(p^{*},w_{i}(p^{*})) , für alle i \in I
(iii) y^{*}_{j} \in Y^{*}_{i}(p^{*}), für alle j \in J
(iv) \sum_{i \in I}(x^{*}_{i} - e_{i}) = \sum_{j \in J} y_{j}

Hierbei ist x^{*}_{i} - e_{i} der Überschussnachfragevektor des i-ten Konsumenten. Das Vorzeichen der k-ten Komponente dieses Vektors zeigt an, ob der i-te Konsument das betreffende Gut kauft oder verkauft: Gilt x^{*}_{i,k} > e_{i,k}, will er mehr vom Gut k konsumieren, als er anfänglich besitzt - und muss die Differenz daher kaufen; gilt dagegen x^{*}_{i,k} < e_{i,k}, will er weniger konsumieren, als er anfänglich besitzt - und wird die Differenz daher verkaufen.

Die Gleichgewichtsbedingung (iv) sagt somit aus, dass für jedes Gut die aggregierte Überschussnachfrage aller Konsumenten dem aggregierten Überschussangebot aller Unternehmen gleich sein muss. Ist sie nicht erfüllt, können die Konsum- bzw. Produktionspläne der Konsumenten und Unternehmen nicht alle gleichzeitig realisiert werden, da dann für manche Güter die aggregierte Nachfrage vom aggregierten Angebot abweicht.

Eigenschaften des Walrasianischen Gleichgewichts[Bearbeiten]

Der zentrale Punkt des Arrow-Debreu Gleichgewichtsmodells ist die Untersuchung seines Gleichgewichts. Hiebei ist besonders die Existenz und Effizienz dieses Zustandes interessant.

Existenzbedingungen[Bearbeiten]

Ein Gleichgewicht existiert in Ökonomie  E = (\R^{l},(X_{i}, \succeq_{i},e_{i})_{i \in I},(Y_{j})_{j \in J},(\theta_{i,j})_{j \in J,i \in I}) , wenn


(1) für die Konsumenten gilt

(i) X_{i} ist abgeschlossen, nach unten beschränkt und konvex
(ii) \succeq_{i} ist stetig und konvex
(iii) es gibt keinen erreichbaren Sättigungspunkt
(iv) e_{i} \in int X_{i}


(2) für die Produzenten gilt

(i) 0 \in Y_{j}
(ii) Y = \sum_{j \in J} Y_{j} ist abgeschlossen und konvex
(iii) Y \cap \R^{l} ist beschränkt

Bedeutung der Existenzbedingungen[Bearbeiten]

Diese Bedingungen sind keineswegs alle naheliegend oder nur rein technisch. Besonders (1)(iv) ist problematisch, auch wenn sie abgeschwächt werden kann. Allerdings sind eigentlich alle Annahmen an die Konsumenten relativ problematisch, während die Annahmen an die Produzenten natürlicher erscheinen. Dies zeigt, dass die schönen Ergebnisse die ein Partialmarktmodell oder ein verallgemeinertes Partialmarktmodell für die Existenz einer Gleichgewichts-Allokation liefert in einem allgemeinen Gleichgewichtsmodel nicht mehr zwangsläufig gegeben ist. Diese Aussage ist durchaus schwerwiegend, sagt sie doch, dass selbst wenn alle Akteure rational und perfekt informiert in einer Ökonomie ohne Transaktionskosten oder sonstige Friktionen agieren, es zu einer Situation kommen kann, in der es kein Gleichgewicht gibt.

Allerdings muss beachtet werden, dass obige Bedingungen nur eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines allgemeinen Gleichgewichtes ist. Aus der Verletzung von einigen der Punkte kann also nicht auf die Nicht-Existenz geschlossen werden. Außerdem können einige der Existenzbedingungen abgeschwächt werden. Allerdings ist diese Aufzählung die am häufigsten anzutreffende.

Walras' Gesetz[Bearbeiten]

Wenn die Konsumenten ungesättigt sind, verwenden sie ihr Budget restlos für Konsumzwecke, so dass gelten muss:

  px^{*}_{i}(p) = w_{i}(p) = p e_{i} + \sum_{j \in J}\theta_{i,j} p y_{j} .

Aggregiert man diese „Budgetgleichung“ über alle Konsumenten, ergibt sich für jeden beliebigen Preisvektor p:

p(\sum_{i \in I}x^{*}_{i}-\sum_{j \in J}y^{*}_{j}-\sum_{i \in I}e_{i})=0

Diese Gleichung setzt lediglich die Bedingung (ii) voraus und gilt somit nicht nur im Walrasianischen Gleichgewicht. Sie besagt, dass der Wert der (über alle Konsumenten und Unternehmen) aggregierten Überschussnachfrage stets null sein muss.

Hauptsätze der Wohlfahrtsökonomie[Bearbeiten]

Hauptartikel: Wohlfahrtstheoreme
1. Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie

Wenn alle Konsumenten ungesättigt sind und es ein Walras-Gleichgewicht ((x_{i})_{i \in I},(y_{j})_{j \in J}) gibt, dann ist dieses Gleichgewicht pareto-effizient.

2. Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie

Wenn eine Allokation ((x_{i})_{i \in I},(y_{j})_{j \in J}) pareto-effizient ist und die Existenzbedingungen gesichert sind gibt es eine Einkommenallokation (w_{i})_{i \in I}, für die ((x_{i})_{i \in I},(y_{j})_{j \in J}) ein Walras-Gleichgewicht ist.

Eindeutigkeit und Stabilität des Gleichgewichts[Bearbeiten]

Die Fragen nach Eindeutigkeit und Stabilität des Gleichgewichts sind typischerweise nicht im Arrow-Debreu-Modell untersucht worden, sondern unter der einschränkenden Annahme, dass die jeweiligen Optimierungsprobleme von Konsumenten und Unternehmen eine eindeutige Lösung haben und sich die Volkswirtschaft daher durch eine Überschussnachfragefunktion beschreiben lässt.[1]

Andere Gleichgewichtsmodelle[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Kenneth J. Arrow, und Gerard Debreu (1954): Existence of an equilibrium for a competitive economy. Econometrica 22 (3): 265–290.
  • Kenneth J. Arrow und Frank Hahn, General Competitive Analysis, 1971.
  • Gerard Debreu: The Theory of Value: An axiomatic analysis of economic equilibrium, 1959
  • Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston und Jerry R. Green: Microeconomic Theory
  • Hal R. Varian: Grundzüge der Mikroökonomik
  • Red. der „Zeitschrift für das gesamte Kreditwesen“ (Hrsg.), Jörg E. Cramer: Enzyklopädisches Lexikon des Geld-, Bank- und Börsenwesens. 4. völlig neu bearb. Aufl., Knapp, Frankfurt am Main 1999, ISBN 3-7819-0596-9, S.47-48.
  • Arrow and Debreu de-homogenized in ;Journal of the History of Economic Thought, 34, 04: 491-514

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Kenneth Arrow und Frank Hahn, General Competitive Analysis, 1971.