Artin-Gruppe

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In der Mathematik ist eine Artin-Gruppe eine Gruppe mit einer Präsentierung der Form

\Big\langle x_1,x_2,\ldots,x_n \Big| \langle x_1, x_2 \rangle^{m_{1,2}}=\langle x_2, x_1 \rangle^{m_{2,1}}, \ldots , \langle x_{n-1}, x_n \rangle^{m_{n-1,n}}=\langle x_{n}, x_{n-1} \rangle^{m_{n,n-1}} \Big\rangle

mit

m_{i,j} = m_{j,i} \in \{2,3,\ldots, \infty\}.

Für m < \infty bedeutet dabei \langle x_i, x_j \rangle^m das alternierende Produkt der Länge m von x_i und x_j, beginnend mit x_i. Also beispielsweise

\langle x_i, x_j \rangle^3 = x_ix_jx_i

oder

\langle x_i, x_j \rangle^4 = x_ix_jx_ix_j.

m_{ij}=\infty bedeutet, dass es zwischen x_i und x_j keine Relationen gibt.

Artin-Gruppen sind nach dem Mathematiker Emil Artin benannt.

Spezialfälle[Bearbeiten]

Zopf-Gruppen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Zopfgruppe

Zopf-Gruppen erhält man als Spezialfall mit

m_{i,i+1}=m_{i+1,i}=3\ \forall i

und

m_{i,j}=1\ \forall \mid i-j\mid >1.

Rechtwinklige Artin-Gruppen[Bearbeiten]

Rechtwinklige Artin-Gruppen sind Artin-Gruppen mit

m_{i,j}\in\left\{2,\infty\right\}

für alle i,j. Sie spielen eine wichtige Rolle in der 3-dimensionalen Topologie.