Artin-Mazursche Zeta-Funktion

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In der Mathematik ist die nach Michael Artin and Barry Mazur benannte Artin-Mazursche Zeta-Funktion ein Hilfsmittel beim Studium iterierter Funktionen in dynamischen Systemen. Sie wird gelegentlich auch als topologische Zeta-Funktion bezeichnet.

Artin und Mazur haben diese Zeta-Funktion im Jahr 1965 eingeführt.[1] Diese Funktion wurde dann von Stephen Smale weiter untersucht und allgemein bekannt gemacht.[2]

Die Artin-Mazursche Zeta-Funktion wird als formale Potenzreihe definiert:

\zeta_f(z)=\exp \sum_{n=1}^\infty \textrm{card}
\left(\textrm{Fix} (f^n)\right) \frac {z^n}{n},

Dabei bezeichnet Fix(ƒn) die Menge der Fixpunkte der n-ten Iteration der Funktion ƒ, und card(Fix(ƒn)) die Kardinalität dieser Menge von Fixpunkten. Dabei sind hier nur endliche Kardinalitäten zugelassen.

Die Artin-Mazursche Zeta-Funktion ist eine topologische Invariante, das heißt, sie ist invariant unter topologischen Konjugationen. Damit verbindet sie lokale Eigenschaften der Funktion ƒ mit globalen Eigenschaften der von den diskreten Trajektorien (Orbits) erzeugten Mannigfaltigkeit.

Umfassende Konvergenzuntersuchungen wurden von William Parry und Mark Pollicott durchgeführt.[3]

Eine Weiterentwicklung der Artin-Mazursche Zeta-Funktion in der Theorie der dynamischen Systeme erfolgte durch David Ruelle, Viviane Baladi und andere zur Ruelleschen Zeta-Funktion und dynamischen Zeta-Funktion.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Michael Artin, Barry Mazur: On periodic points. In: Annals of Mathematics. 81, 1965, S. 82–99.
  2. Stephen Smale: Differential dynamical systems. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 73, 1967, S. 747–817.
  3. William Parry, Mark Pollicott: Zeta functions and the periodic orbit structure of hyperbolic dynamics. In: Astérisque. vol. 187-188, 1990, Société Mathématique de France, Paris.