Artinsch

Der Begriff artinscher Ring oder artinscher Modul (nach Emil Artin) beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine gewisse Endlichkeitsbedingung. Der Begriff weist einige Analogien zum Begriff „noethersch“ auf, die beiden Begriffe sind aber nicht auf ganz einfache Weise miteinander verbunden. Zum Beispiel ist jeder artinsche Ring noethersch, aber nicht umgekehrt.

Definition

Ein Modul $M$ über einem Ring $R$ mit $1$ heißt artinsch, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• Jede nichtleere Menge von $R$-Untermoduln von $M$ hat ein minimales Element bezüglich Inklusion.
• Jede absteigende Folge von Untermoduln wird stationär, d.h. in einer Kette

$M_1\supseteq M_2\supseteq M_3\supseteq\ldots$ gibt es einen Index $n$, so dass für alle $i>n$ gilt: $M_i = M_n$.

• Für jede Familie $\left( M_i \right)_{i \in I}$ von Untermoduln existiert eine endliche Teilmenge $I_0$ von $I$, so dass gilt: $\bigcap_{i \in I} M_i = \bigcap_{i \in I_0} M_i$

Ein Ring $R$ heißt linksartinsch, wenn $R$ artinsch als $R$-Linksmodul ist.

Ein Ring $R$ heißt rechtsartinsch, wenn $R$ artinsch als $R$-Rechtsmodul ist.

Ein Ring $R$ heißt artinsch, wenn $R$ links- und rechtsartinsch ist.

(Man beachte: Die Untermoduln sind dann gerade die (Links- / Rechts-)Ideale.)

Eigenschaften

• Untermoduln und Quotientenmoduln artinscher Moduln sind artinsch. Ist umgekehrt $N$ ein Untermodul des Moduls $M$, und sind $N$ und der Quotient $M/N$ artinsch, so ist auch $M$ artinsch.
• Endlich erzeugte Moduln über einem artinschen Ring sind artinsch. Genauer sind für einen (Links-)Modul $M$ über einem (links-)artinschen Ring $R$ äquivalent:
  • M ist (links-)artinsch
  • M ist (links-)noethersch
  • M ist endlich erzeugt
• Als Spezialfall der letzten Aussage, nämlich falls $M = R$ ist, gilt: Jeder (links-)artinsche Ring ist auch (links-)noethersch. Es gilt aber nicht, daß jeder noethersche Ring auch artinsch wäre. Stattdessen gilt beispielsweise:
• Ein kommutativer Ring mit Einselement ist genau dann artinsch, wenn er noethersch und nulldimensional ist. (Ein Ring $R$ ist nulldimensional, wenn jedes Primideal ein maximales Ideal ist.)
• Ein artinscher Integritätsring ist bereits ein Körper; umgekehrt ist jeder Körper artinsch. (Dies ist ein Spezialfall der vorigen Aussage, denn nulldimensionale Integritätsringe sind Körper.) Es gilt sogar folgende stärkere Aussage: Ein Integritätsring, der die absteigende Kettenbedingung für Hauptideale erfüllt, ist ein Körper.

Beispiele

• Moduln und Ringe, die aus nur endlich vielen Elementen bestehen, sind artinsch.
• Ist $R$ eine (assoziative) Algebra über einem Körper $K$, und hat ein $R$-Modul $M$ endliche $K$-Dimension, so ist $M$ artinsch. Beispielsweise sind die Ringe $K\times K$ und $K[T]/(T^n)$ artinsch.
• Die $\mathbb{Z}$-Moduln $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sind artinsch, $\mathbb{Z}$ selbst jedoch nicht.
• $\begin{pmatrix} \mathbb{Z} & \mathbb{Q} \\ 0 & \mathbb{Q} \end{pmatrix}$ ist rechtsnoethersch, aber weder linksartinsch noch linksnoethersch.
• $\begin{pmatrix} \mathbb{Q} & \mathbb{R} \\ 0 & \mathbb{R} \end{pmatrix}$ ist rechtsartinsch, aber nicht linksartinsch.

Literatur

•  K. A. Zhevlakov: Artinian ring. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).