Artinscher Modul

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Der Begriff artinscher Ring oder artinscher Modul (nach Emil Artin) beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine gewisse Endlichkeitsbedingung. Der Begriff weist einige Analogien zum Begriff des noetherschen Rings auf, die beiden Begriffe sind aber nicht auf ganz einfache Weise miteinander verbunden. Zum Beispiel ist jeder artinsche Ring noethersch, aber nicht umgekehrt.

Artinscher Modul[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Ein Modul M über einem Ring R mit 1 heißt artinsch, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • Jede nichtleere Menge von R-Untermoduln von M hat ein minimales Element bezüglich Inklusion.
  • Jede absteigende Folge von Untermoduln wird stationär, d.h. in einer Kette
 M_1\supseteq M_2\supseteq M_3\supseteq\dotsb gibt es einen Index n, so dass für alle i>n gilt: M_i = M_n.
  • Für jede Familie \left( M_i \right)_{i \in I} von Untermoduln existiert eine endliche Teilmenge I_0 von I, so dass gilt: \bigcap_{i \in I} M_i = \bigcap_{i \in I_0} M_i

Beispiele[Bearbeiten]

  • jeder endliche Modul ist artinsch
  • jeder endlich erzeugte Modul über einem artinschen Ring ist artinsch
  •  \mathbb{Z} ist kein artinscher  \mathbb{Z} -Modul
  • eine endliche direkte Summe artinscher Moduln ist artinsch
  • Ist R eine (assoziative) Algebra über einem Körper K, und hat ein R-Modul M endliche K-Dimension, so ist M artinsch. Beispielsweise sind die Ringe K\times K und K[T]/(T^n) artinsch.
  •  \mathbb{Z}\left[\frac1p\right]\Big/\mathbb{Z} ist artinsch, jedoch nicht  \mathbb{Z}\left[\frac1p\right]

Eigenschaften[Bearbeiten]

  1.  M_2 ist artinsch
  2.  M_1,M_3 sind artinsch
  • Für einen (Links-)Modul M über einem (links-)artinschen Ring R sind äquivalent:
    • M ist (links-)artinsch
    • M ist (links-)noethersch
    • M ist endlich erzeugt

Artinscher Ring[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Ein Ring R heißt linksartinsch, wenn R artinsch als R-Linksmodul ist.

Ein Ring R heißt rechtsartinsch, wenn R artinsch als R-Rechtsmodul ist.

Ein Ring R heißt artinsch, wenn R links- und rechtsartinsch ist.

(Man beachte: Die Untermoduln sind dann gerade die (Links- / Rechts-)Ideale.)

Beispiele[Bearbeiten]

  • Körper sind artinsch
  • Sei K ein Körper, R eine endlich erzeugte K-Algebra (d.h.  R \simeq K[X]/I für ein geeignetes Ideal  I \subseteq K[X] ), dann ist R ein artinscher Ring genau dann, wenn  dim_K(R) < \infty .
  •   \begin{pmatrix} 
    \mathbb{Z} & \mathbb{Q} \\ 
    0 & \mathbb{Q}  
  \end{pmatrix} 
   ist rechtsnoethersch, aber weder linksartinsch noch linksnoethersch.
  •  \begin{pmatrix} 
    \mathbb{Q} & \mathbb{R} \\ 
    0 & \mathbb{R}  
  \end{pmatrix}
  ist rechtsartinsch, aber nicht linksartinsch.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Ein artinscher Ring ist noethersch
  • Genauer ist ein kommutativer Ring mit Einselement genau dann artinsch, wenn er noethersch und nulldimensional ist (also wenn jedes Primideal ein maximales Ideal ist)
  • Ein artinscher Integritätsring ist bereits ein Körper. Es gilt sogar folgende stärkere Aussage: Ein Integritätsring, der die absteigende Kettenbedingung für Hauptideale erfüllt, ist ein Körper.
  • Ist in einem Ring das Nullideal Produkt maximaler Ideale, so ist der Ring genau dann artinsch, wenn er noethersch ist
  • In einem artinschen Ring ist jedes Primideal bereits maximal
  • In einem artinschen Ring existieren nur endlich viele maximale Ideale (und damit nur endlich viele Primideale)
  • In einem artinschen Ring ist das Nilradikal nilpotent
  • Jeder artinsche Ring ist endliches Produkt artinscher lokaler Ringe

Literatur[Bearbeiten]