Assoziativgesetz
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Das Assoziativgesetz (lat. associare – vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen), auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Eine (zweistellige) Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: Die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig. Deshalb kann man es anschaulich auch „Klammergesetz“ nennen.
Neben dem Assoziativgesetz sind Distributivgesetz und Kommutativgesetz von elementarer Bedeutung in der Mathematik.
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[Bearbeiten] Definition
In einem Summen- oder Produktterm dürfen die Summanden oder Faktoren beliebig mit Klammern verbunden werden. Dies gilt auch für mehr als drei Summanden oder Faktoren.
Eine binäre Verknüpfung 
auf einer Menge A heißt assoziativ, wenn für alle 
das Assoziativgesetz
gilt.
[Bearbeiten] Folgerungen
Bei Gültigkeit des Assoziativgesetzes lässt sich eine vereinfachte klammerfreie Notation einführen. Wegen
ist der Ausdruck
eindeutig, da aus jeder beliebigen Klammerung immer das gleiche Ergebnis folgt.
[Bearbeiten] Beispiele
Als Verknüpfungen auf den reellen Zahlen sind Addition und Multiplikation assoziativ, es gilt zum Beispiel Addition:
Multiplikation:
Die Subtraktion und Division sind hingegen nicht assoziativ, denn es ist z. B. Subtraktion
.
Division:
.
Auch die Potenz ist nicht assoziativ, da z. B.
gilt.
[Bearbeiten] Einordnung
Das Assoziativgesetz gehört zu den Gruppenaxiomen, wird aber bereits für die schwächere Struktur einer Halbgruppe gefordert.
[Bearbeiten] Siehe auch
[Bearbeiten] Literatur
Otto Forster: Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, München 2008, ISBN 978-3-8348-0395-5.
