Astroide

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Animation der Astroide

Die Astroide (auch Sternkurve genannt) ist eine ebene Kurve, die sich mit einem Parameter t \in [0,2\pi] durch die Parametergleichungen

x = a (\cos t)^3 \
y = a (\sin t)^3 \

oder durch die implizite Gleichung

x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} \quad ,  welche äquivalent zu    \quad
(x^2+y^2-a^2)^3 + 27 a^2 x^2 y^2 = 0 ist,

beschreiben lässt, wobei a eine feste positive, reelle Zahl ist. Für ihren Flächeninhalt A gilt

A = \frac{3}{8} \pi a^2.

Die Länge \ell der gesamten Kurve beträgt \ell = 6a. Innerhalb eines Kurvenviertels  0 \le t \le \frac{\pi}{2} gilt für die Bogenlänge

s(t) = \frac{3}{2}a\sin^2(t)

und für den Krümmungsradius

 \rho(t) = \frac{3}{2}a\sin(2t) .

Die Astroide ist auch ein Spezialfall der Hypozykloide. Sie ähnelt auch dem Karo auf gewöhnlichen Spielkarten.

Schwerpunkt[Bearbeiten]

Schwerpunkte der Astroiden
Intervall x_\mathrm{S} y_\mathrm{S}
Ebenes Kurvenstück 0 ≤ t ≤ \tfrac{\pi}{2} \tfrac{3}{10}a^2 \sqrt{2-\sqrt{2}} \tfrac{3}{10}a^2 \sqrt{2-\sqrt{2}}
0 ≤ t ≤ \pi 0 \tfrac{3}{10}a^2 \sqrt{2-\sqrt{2}}
Ebene Figur 0 ≤ t ≤ \tfrac{\pi}{2} \tfrac{256}{315} \pi a \tfrac{256}{315} \pi a
0 ≤ t ≤ \pi 0 \tfrac{256}{315} \pi a
Drehkörper* 0 ≤ t ≤ \tfrac{\pi}{2} \tfrac{21}{128}a 0

*Bei Rotation um die X-Achse ( z_S = 0 )

Schiefe Astroide[Bearbeiten]

Eine Verallgemeinerung ist die schiefe Astroide, die sich durch die Parametergleichungen

x = a (\cos t)^3 \
y = b (\sin t)^3 \

oder durch die implizite Gleichung

\left({\frac{x}{a}}\right)^{\frac{2}{3}} + \left({\frac{y}{b}}\right)^{\frac{2}{3}} = 1

beschreiben lässt. Die Evolute einer Ellipse ist ebenfalls eine schiefe Astroide.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Astroid – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien