Asymptotische Folge

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In der Analysis ist eine asymptotische Folge ein Grundbaustein einer asymptotischen Analyse. Die asymptotische Folge definiert den Ansatzraum einer asymptotischen Entwicklung und bestimmt damit die möglichen Ergebnisse der Analyse.

Definition[Bearbeiten]

Eine endliche oder unendliche Folge (\phi_n) von Funktionen auf dem Gebiet \Omega heißt asymptotisch für x \to x_0, wenn

\phi_{n+1}(x) = \hbox{o}(\phi_n(x)), \; x \to x_0,

mit der Landau-Notation. Bei unendlichen Folgen spricht man von einer gleichmäßigen asymptotischen Folge in n, falls \phi_{n+1}= \hbox{o}(\phi_n) gleichmäßig in n gilt, beziehungsweise von einer gleichmäßigen asymptotischen Folge in den Parametern, falls die Folge von einem Parameter \epsilon abhängt und \phi_{n+1} = \hbox{o}(\phi_n) gleichmäßig in den Parametern gilt.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Folge der reellen Funktionen \phi_n = x^n für x\to 0.
  • Die Folge der reellen Funktionen \phi_n = x^{-\lambda_n} mit \lambda_{n+1}>\lambda_n für x\to \infty.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Eine Teilfolge einer asymptotischen Folge ist ebenfalls asymptotisch, ebenso liefert das Potenzieren der kompletten Folge mit einer positiven Zahl wieder eine asymptotische Folge.

Literatur[Bearbeiten]

  • Erdélyi, A.: Asymptotic Expansions, New York: Dover, 1987.