Atkinson-Maß

Mit Atkinson-Maß (nach Anthony Atkinson [* 1944]) werden eine Menge von Ungleichverteilungsmaßen bezeichnet, mit denen beispielsweise die Einkommens- oder Vermögensungleichheit in einer Gesellschaft berechnet werden kann.

Ursprung/Geschichte

Der von Hugh Dalton eingeführte Dalton-Index D ist nicht invariant gegenüber positiven linearen Transformationen der persönlichen Einkommenswohlfahrtsfunktionen ist.

Atkinson hat 1970 versucht, den Index so neu zu definieren, dass er die entsprechende Invarianz aufweist.

Definition

Jedem Atkinson-Maß liegt eine konkave Nutzenfunktion zugrunde. Wie stark das Atkinson-Maß auf Ungleichheiten reagiert wird von dieser zugrunde gelegten Nutzenfunktion bestimmt.

Üblicherweise wird eine Arrow-Wohlfahrtsfunktion verwendet, die durch einen die Ungleichheitsaversion angebenden Parameter ε festlegt, wie groß der Wohlfahrtsunterschied eines zusätzlichen Euros zwischen einer Person mit einem hohen und einem niedrigen Einkommen ist. Je größer Epsilon ist, desto stärker reagiert das Atkinson-Maß auf Ungleichheit. Ist $\varepsilon=0$ bedeutet dies, dass die Verteilung der Einkommen gesellschaftlich gesehen unerheblich ist.

Dieser Atkinson-Index ist wie folgt definiert:

$A=A_\varepsilon=A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_n)= \begin{cases} 1 & \mbox{for}\ \varepsilon=0 \\ 1-\frac{1}{\mu}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{1-\varepsilon}\right)^{1/(1-\varepsilon)} & \mbox{for}\ \varepsilon \in \left(0,1\right)\cup\left(1,+\infty\right) \\ 1-\frac{1}{\mu}\left(\prod_{i=1}^{n}y_{i}\right)^{1/n} & \mbox{for}\ \varepsilon=1, \end{cases}$

wobei y_i das individuelle Einkommen (i = 1, 2, ..., N) und μ das Durchschnittseinkommen ist.

Eigenschaften

Der Atkinson-Index hat folgende Eigenschaften:

1. Symmetrie in den Argumenten: $A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N)=A_\varepsilon(y_{\sigma(1)},\ldots,y_{\sigma(N)})$ für alle Permutationen σ.
2. Der Index liegt zwischen Null und Eins. $0\leq A_1\leq 1$ und $0 \leq A_\varepsilon \leq 1-n^{-\epsilon} < 1$ für alle $\varepsilon\neq 1$
3. Der Index ist nur bei Einkommensgleichheit Null: $A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N) = 0$ gdw. y_i = μ für alle i.
4. Invarianz gegenüber Vervielfachung: Wird die Population (mehrfach) identisch repliziert, bleibt der Index gleich: $A_\varepsilon(\{y_1,\ldots,y_N\},\ldots,\{y_1,\ldots,y_N\})=A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N)$
5. Invarianz gegenüber Inflation: Werden alle Einkommen mit einer positiven Konstante multipliziert, bleibt der Index gleich: $A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N) = A_\varepsilon( ky_1,\ldots,ky_N)$ für alle k > 0
6. Der Index lässt sich in Untergruppen zerlegen. Es gilt

$A_\varepsilon(y_{g,i_g}: i_g=1,\ldots,n_g; g=1,\ldots,G) = \sum_{g=1}^G w_g A_\varepsilon( y_{g,1}, \ldots, y_{g,n_g}) + A_\varepsilon(\mu_1, \ldots, \mu_G)$, wobei G die Anzahl der Untergruppen angibt, μ_g das Durchschnittseinkommen der Untergruppe g, und die Gewichte w_g = f(μ_g,μ,N,N_g) für eine von der konkreten Situation unabhängige Funktion f.

Anwendung

Für den sich aus der „verallgemeinerten Entropie-Klasse“ mit $\varepsilon = 1$ ergebenden Theil-Index I₁ gilt, dass er in ein von Atkinson entwickeltes Entropiemaß umgewandelt werden kann, das in der Literatur auch als „normalisierter Theil-Index“ auftrat. Das Maß errechnet sich aus der Funktion 1 − e ^{− T}.

Literatur

Originalaufsatz:

• Anthony B. Atkinson: On the Measurement of Inequality. In: Journal of Economic Theory. Bd. 2 (3), 1970. S. 244–263.

Zur Vertiefung:

• Yoram Amiel: Thinking about inequality. Cambridge 1999.
• Frank Alan Cowell: Measurement of Inequality. In: Anthony  B. Atkinson, François Bourguignon (Hg.): Handbook of Income Distribution. Bd. 1, Amsterdam et al. 2000. S. 87–166.
• Amartya Sen, James Eric Foster: On Economic Inequality. Oxford University Press, Oxford 1996. ISBN 0-19-828193-5. (Python script mit wichtigen Formeln aus dem Buch, darunter auch Formeln zur Berechnung des Atkinson-Indexes)

Weblinks

• Pramod Kumar Chaubey (eGyanKosh, IGNOU/Indira Gandhi National Open University): Unit 11: Measures of Inequality – PD/gemeinfrei (PDF-Datei; 3,34 MB).