Atkinson-Maß

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Mit Atkinson-Maß (nach Anthony Atkinson [* 1944]) werden eine Menge von Ungleichverteilungsmaßen bezeichnet, mit denen beispielsweise die Einkommens- oder Vermögensungleichheit in einer Gesellschaft berechnet werden kann.

Ursprung/Geschichte[Bearbeiten]

Der von Hugh Dalton eingeführte Dalton-Index D ist nicht invariant gegenüber positiven linearen Transformationen der persönlichen Einkommenswohlfahrtsfunktionen.

Atkinson hat 1970 versucht, den Index so neu zu definieren, dass er die entsprechende Invarianz aufweist.

Definition[Bearbeiten]

Jedem Atkinson-Maß liegt eine konkave Nutzenfunktion zugrunde. Wie stark das Atkinson-Maß auf Ungleichheiten reagiert, wird von dieser zugrunde gelegten Nutzenfunktion bestimmt.

Üblicherweise wird eine Arrow-Wohlfahrtsfunktion verwendet, die durch einen die Ungleichheitsaversion angebenden Parameter \varepsilon festlegt, wie groß der Wohlfahrtsunterschied eines zusätzlichen Euros zwischen einer Person mit einem hohen und einem niedrigen Einkommen ist. Je größer Epsilon ist, desto stärker reagiert das Atkinson-Maß auf Ungleichheit. Ist \varepsilon=0 bedeutet dies, dass die Verteilung der Einkommen gesellschaftlich gesehen unerheblich ist.

Dieser Atkinson-Index ist wie folgt definiert:

A=A_\varepsilon=A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_n)=
\begin{cases}
1
& \mbox{für}\ \varepsilon=0 \\
1-\frac{1}{\mu}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{1-\varepsilon}\right)^{1/(1-\varepsilon)}
& \mbox{für}\ \varepsilon >0 \and \varepsilon\neq1\\
1-\frac{1}{\mu}\left(\prod_{i=1}^{n}y_{i}\right)^{1/n}
& \mbox{für}\ \varepsilon=1,
\end{cases}

wobei y_{i} das individuelle Einkommen (i = 1, 2, ..., N) und \mu das Durchschnittseinkommen ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Der Atkinson-Index hat folgende Eigenschaften:

  1. Symmetrie in den Argumenten: A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N)=A_\varepsilon(y_{\sigma(1)},\ldots,y_{\sigma(N)}) für alle Permutationen \sigma.
  2. Der Index liegt zwischen Null und Eins. 0\leq A_1\leq 1 und  0 \leq A_\varepsilon \leq 1-n^{-\epsilon} < 1 für alle \varepsilon\neq 1
  3. Der Index ist nur bei Einkommensgleichheit Null: A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N) = 0 gdw. y_i = \mu für alle i.
  4. Invarianz gegenüber Vervielfachung: Wird die Population (mehrfach) identisch repliziert, bleibt der Index gleich: A_\varepsilon(\{y_1,\ldots,y_N\},\ldots,\{y_1,\ldots,y_N\})=A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N)
  5. Invarianz gegenüber Inflation: Werden alle Einkommen mit einer positiven Konstante multipliziert, bleibt der Index gleich: A_\varepsilon(y_1,\ldots,y_N) = A_\varepsilon( ky_1,\ldots,ky_N) für alle k>0
  6. Der Index lässt sich in Untergruppen zerlegen.[1] Es gilt


A_\varepsilon(y_{g,i_g}: i_g=1,\ldots,n_g; g=1,\ldots,G) = \sum_{g=1}^G w_g A_\varepsilon( y_{g,1}, \ldots, y_{g,n_g}) + A_\varepsilon(\mu_1, \ldots, \mu_G)
, wobei G die Anzahl der Untergruppen angibt, \mu_g das Durchschnittseinkommen der Untergruppe g, und die Gewichte w_g=f(\mu_g,\mu,N,N_g) für eine von der konkreten Situation unabhängige Funktion f.

Anwendung[Bearbeiten]

Für den sich aus der „verallgemeinerten Entropie-Klasse“[2] mit \varepsilon = 1 ergebenden Theil-Index I_{1} gilt, dass er in ein von Atkinson entwickeltes Entropiemaß[3] umgewandelt werden kann, das in der Literatur auch als „normalisierter Theil-Index“ auftrat.[4] Das Maß errechnet sich aus der Funktion 1 - e^{- T}.

Literatur[Bearbeiten]

Originalaufsatz:

Zur Vertiefung:

  • Yoram Amiel: Thinking about inequality. Cambridge 1999.
  • Frank Alan Cowell: Measurement of Inequality. In: Anthony  B. Atkinson, François Bourguignon (Hg.): Handbook of Income Distribution. Bd. 1, Amsterdam et al. 2000. S. 87–166.
  • Amartya Sen, James Eric Foster: On Economic Inequality. Oxford University Press, Oxford 1996. ISBN 0-19-828193-5. (Python script mit wichtigen Formeln aus dem Buch, darunter auch Formeln zur Berechnung des Atkinson-Indexes)

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Shorrocks, AF (1980). The class of additively decomposable inequality indices. Econometrica, 48 (3), 613-625, doi:10.2307/1913126
  2. „Generalized Entropy Class“, Janes E. Foster im Annex A.4.1 (S. 142) von Amartya Sen: On Economic Inequality. 1973/1997.
  3. Anthony B. Atkinson entwickelte verschiedene Maße. Das mit dem Theil-Index verwandte Maß findet sich bei Lionnel Maugis in: Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En-Route Capacities (Veröffentlichung für IFORS 96). 1996.
  4. Juana Domínguez-Domínguez, José Javier Núñez-Velázquez: The Evolution of Economic Inequality in the EU Countries During the Nineties (PDF; 330 kB). 2005.