Atlas (Mathematik)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Ein Atlas ist eine Menge von Karten auf einer Mannigfaltigkeit. Er dient dazu, auf einem topologischen Raum zusätzliche Strukturen zu definieren, wie zum Beispiel eine differenzierbare oder eine komplexe Struktur, so dass man eine differenzierbare Mannigfaltigkeit bzw. eine komplexe Mannigfaltigkeit erhält.

[Bearbeiten] Definition (Karte)

Sei $S$ eine beliebige Menge, $U$ eine Untermenge $U \subset S$ und $A$ eine offene Teilmenge eines Banachraums. Eine Karte auf $S$ ist eine Bijektion $φ$ von $U$ nach $A$ . Um zu betonen, um welche Menge es sich handelt schreibt man die Karte manchmal auch als 2-Tupel $(U,φ)$ .^[1]

In den häufig vorkommenden Fällen ist $S$ ein topologischer Raum, $U\subset S$ ist offen und der Banachraum als Zielraum ist ein endlichdimenensionaler reeller oder komplexer Vektorraum, in der Regel einfach $\R^n$ bzw. $\mathbb C^n$ . In diesem Fall fordert man zusätzlich, dass $φ$ ein Homöomorphismus ist.

Wird $S$ nicht als topologischer Raum vorausgesetzt, so kann man mit Hilfe von $φ$ eine Topologie auf $U$ festlegen.

[Bearbeiten] Definition (Atlas)

Ein topologischer Atlas auf $S$ ist eine Menge $\left\{(U_i,\phi_i) | i \in I\right\}$ von Karten auf $S$ , deren Definitionsbereiche $S$ überdecken:

$S = \bigcup_{i \in I} U_i$

Ein Atlas aus Karten mit Zielbereich $\R^n$ (bzw. $\mathbb{C}^n$ ) heißt $C k$ - Altas ( $k \in \N_0 \cup \{\infty\}$ bzw. $k = ω$ ), falls für je zwei Karten mit nichttrivialem Schnitt $(U_i,\phi_i) \cap (U_j,\phi_j) \neq \emptyset$ die Kartenwechselabbildung $\left.\phi_j \circ \phi_i^{-1}\right|_{\phi_i(U_i \cap U_j)}: \phi_i(U_i \cap U_j) \to \phi_j(U_i \cap U_j)$ ein $C k$ -Diffeomorphismus (bzw. eine konforme Abbildung) ist.

Für $k \ge 1$ spricht man auch allgemein von einem differenzierbaren Atlas. Eine mit einem differenzierbaren ( $C k$ -)Atlas versehene Mannigfaltigkeit heißt differenzierbare Mannigfaltigkeit bzw. $C k$ -Mannigfaltigkeit. Ein Atlas aus Karten mit Zielbereich $\mathbb C^n$ heißt komplexer Atlas, falls die Kartenwechselabbildungen holomorph sind. Eine mit einem komplexen Atlas versehene Mannigfaltigkeit heißt komplexe Mannigfaltigkeit.

Eine Karte $\varphi$ heißt mit dem Atlas $\mathcal{A}$ verträglich, wenn $\mathcal{A}\cup\{\varphi\}$ auch ein $C k$ -Atlas ist. Der Begriff der Verträglichkeit lässt sich auch für Mengen von Karten erweitern. Eine Menge $K$ von Karten heißt also verträglich mit $\mathcal{A}$ , wenn ebenfalls $\mathcal{A}\cup K$ ein $C k$ -Atlas ist.

[Bearbeiten] Maximaler Altas

Sei $S$ ein topologischer Raum. Zwei $C k$ Atlanten $\mathcal{A}_1$ und $\mathcal{A}_2$ von $S$ heißen äquivalent, falls $\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$ ein $C k$ Altas ist. Eine $C k$ -differenzierbare Struktur $D$ auf $S$ ist eine Äquivalenzklasse von Atlanten auf $S$ . Die Vereinigung der Atlanten