Ausfallrate

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Die Ausfallrate ist eine Kenngröße für die Zuverlässigkeit eines Objektes. Sie gibt an, wie viele Objekte in einer Zeiteinheit durchschnittlich ausfallen. Sie wird angegeben in 1/Zeit, also Ausfall pro Zeiteinheit. Ist die Ausfallrate zeitlich konstant, in diesem Fall wird sie üblicherweise mit der Konstante λ bezeichnet, ist der Kehrwert die mittlere Lebensdauer MTTF, bei reparablen Objekten die mittlere Zeit zwischen zwei Ausfällen MTBF. Eine spezielle Einheit für die Ausfallrate ist FIT Failure In Time mit der Einheit Ausfälle pro 109 Stunden.

Die Ausfallsrate wird in der Ereigniszeitanalyse in der Statistik auch als Hazardrate (englisch hazard: Gefahr, Zufall, Risiko) bezeichnet. Aus ihr lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass zu einem festen Zeitpunkt ein bestimmtes "Austrittsereignis" (beispielsweise Tod einer Person, Verkauf einer Ware, Zerfall eines radioaktiven Elements) eintritt. Man spricht auch von einer momentanen Neigung zum Zustandswechsel.

Ausfallrate und Zuverlässigkeit[Bearbeiten]

Die Ausfallrate ist – abgesehen vom Vorzeichen – der Quotient aus der Zeitableitung der Zuverlässigkeit und der Zuverlässigkeit selbst:

h(t) =  - \frac{\frac{dR(t)}{dt}}{R(t)}.

umgekehrt kann die Zuverlässigkeit durch die Überlebensfunktion R(t), auch als Zuverlässigkeitsfunktion bezeichnet, bestimmt werden zu:

R(t) = e^{- {\int\limits_{0}^{t} h(x)dx}}

Beispiel: Hält ein Objekt mit konstanter Ausfallrate, dies entspricht einer Exponentialverteilung der Zuverlässigkeitsfunktion und in diesem Fall ist h(t) = \lambda, im Durchschnitt 100 Stunden, ist die Ausfallrate λ = 1/360000s.

Einflussgrößen[Bearbeiten]

Die Ausfallrate hängt zunächst davon ab, ob das Objekt im Einsatz steht oder nicht. Bei Flugmotoren und anderen wird die Ausfallrate pro Betriebsstunde angegeben.

Die Ausfallrate hängt stark von der Umgebung, insbesondere von der Temperatur ab. Nach der RGT-Regel (Arrheniusgesetz) verdoppelt sich die Ausfallrate für eine Temperatursteigerung um etwa 10 °C. Temperaturzyklen (Wärme-Kälte) erhöhen die Ausfallrate massiv. Auch Erschütterungen, Strahlung (Sonnenlicht, Höhenstrahlung), Feuchtigkeit oder chemische Stoffe (z. B. salzige Luft) erhöhen die Ausfallrate. Dies wird in Alterungstest, wie dem Highly Accelerated Life Test, bewusst ausgenutzt.

Die Ausfallrate hängt auch vom Alter des Objektes ab. Typischerweise verfolgt die Ausfallrate eine Badewannenkurve. Am Anfang des Lebens ist die Ausfallrate hoch infolge „Kinderkrankheiten“: Produktionsfehlern und Einschaltstress. Objekte, die diese Phase überlebt haben, zeigen danach erstmal eine kleinere Ausfallrate.

Aus diesem Grund werden Objekte - insbesondere in der Elektronik - nach der Fabrikation einem Temperaturstress vor dem Testen unterworfen, um Objekte auszulesen, welche die Kinderkrankheiten bereits hinter sich haben („Burn-In“).

Danach bleibt die Ausfallrate eine ziemlich lange Zeit konstant, dies ist der Boden der Badewanne. Diese konstante Ausfallrate ist die Basis der allermeisten Zuverlässigkeitsberechnungen, weil sie mathematisch einfach zu behandeln ist.

Mit zunehmendem Alter vergrößert sich die Ausfallrate wieder infolge „Alterskrankheiten“: mechanischer Verschleiß, chemische Zersetzung der Materialien, Isolationsdurchbruch bei elektrischen Anlagen, Einwirkung von UV-Strahlung oder Neutronenbeschuss auf die Materialfestigkeit.

Schließlich hängt die Ausfallrate von der Qualität der Wartung ab.

Ermittlung der Ausfallrate[Bearbeiten]

Ausfallratemessungen an Glühbirnen
oben: Kurve der funktionierenden Glühbirnen über der Zeit
unten: Ausfallsrate, es ergibt sich hier ein auch für viele andere Produkte typisches Badewannenprofil der Ausfallswahrscheinlichkeit

Die Ausfallrate kann nicht an einem einzelnen Objekt gemessen werden. Sie wird aus Beobachtungen an einer größeren Anzahl gleicher Objekten geschätzt. In einem solchen statistischen Experiment wird die empirische Verteilungsfunktion der Lebensdauer bestimmt. Die empirische Verteilungsfunktion ist eine Stufenfunktion mit einer Stufe für jeden ermittelten Ausfallzeitpunkt.

Die Ausfallrate zu einer bestimmten Zeit ist dann gegeben durch die Anzahl Objekte, die in einem bestimmten Zeitintervalls (z. B. einen Tag) ausfallen, dividiert durch die Anzahl guter Objekte am Anfang des Zeitintervalls.

Zum Beispiel werden 10 000 Glühbirnen gemessen (Bild). Am 19. Tag blieben noch 9 600 Birnen übrig und an diesem Tag fielen 5 Glühbirnen aus. Die Ausfallrate am 19. Tag war also 5/9600/24 = 21,7 pro Million Stunden = 21,700 fit.

Statistisch gesehen ist es nämlich gleichwertig, ob die Ausfallrate in Ausfall pro Stunde eines bestimmten Objektes oder in Anzahl ausgefallene Objekte pro Stunde einer großen Menge angegeben ist.

Oft wird diese Messung unter erhöhtem Temperaturstress und insbesondere unter Temperaturzyklen oder unter Bestrahlung durchgeführt, um die Lebenszeit zu verkürzen und schneller zu Resultaten zu kommen.

Damit lassen sich Kataloge der Ausfallrate der Bauteile erstellen, wie z. B. die MIL-HDBK-217 der USA Streitkräfte. Die darin enthaltene Ausfallraten werden für verschiedene Einsatzgebiete (Gebäude, Fahrzeuge, Schiffe, Helikopter, …) und Temperaturen angegeben.

Die Ingenieure können auch diese Ausfallraten korrigieren oder schätzen aus Erfahrungen der Reparaturwerkstatt.

Auch können mathematische Modelle die Ausfallrate voraussagen, z. B. durch Berechnung von Risswachstum an Turbinenschaufeln.

Systeme von Objekten[Bearbeiten]

Bei einem System von Objekten wird die Ausfallrate des Systems berechnet als die Summe der Ausfallrate der einzelnen Elemente. Dabei wird davon ausgegangen, dass der Verlust irgendeines Elements zum Ausfall des Systems führt, was nicht der Fall ist, wenn das System Redundanz ausweist (siehe MTBF).

Zum Beispiel besteht eine Blinklampe aus

  • 20 Widerstände: 20 · 0,1 FIT
  • 3 Transistoren: 3 · 1 FIT
  • 2 Kondensatoren: 2 · 0,5 FIT
  • 1 Batterie: 200 FIT.

Die totale Ausfallrate ist Summe aus allen Ausfallraten und somit 206 FIT. Die mittlere Lebensdauer beträgt demnach 554 Jahre. Dieser Wert für die mittlere Lebensdauer gilt aber nur unter der Voraussetzung, dass die Batterie regelmäßig ausgewechselt wird: Die Batterie hat zu Anfang eine kleine Ausfallrate, die aber mit zunehmendem Alter stark ansteigt.

Mathematik[Bearbeiten]

Wenn f(t) die Wahrscheinlichkeitsdichte für einen Ausfall zur Zeit t ist, dann bestimmt die Funktion

h(t) = \frac{f(t)}{1-F(t)}

mit der Lebensdauer t als reeller Variablen die Ausfallrate \lambda zu einem Zeitpunkt t. Die Ausfallwahrscheinlichtkeit F(t) ist:

F(t) = \int\limits_{0}^{t}f(\tau)d\tau

Alternativ kann man die Ausfallsrate im Zusammenhang zur Überlebensfunktion R(t)\; ausdrücken als:

h(t) = \frac{f(t)}{1-F(t)} = \frac{f(t)}{R(t)} = \frac{\frac{\partial}{\partial t}F(t)}{R(t)} = \frac{\frac{\partial}{\partial t}\left( 1 - R(t) \right)}{R(t)} = - \frac{\partial}{\partial t} \ln\left(R(t)\right)

Damit ergibt sich:

h(t) = -\frac{d}{dt}\ln(1-F(t))

und damit

F(t) = 1 - e^{-\int\limits_{0}^{t}h(\tau)d\tau}
Verschiedene Ausfallsraten bei der Exponentialverteilung

Bei der bedeutenden Exponentialverteilung ist

f(t) = \lambda e^{-\lambda \tau}

und es gilt folgender Zusammenhang:

F(t)=\int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda \tau}\, d\tau = 1 - e^{-\lambda t}

Damit ergibt sich bei der Exponentialverteilung eine zeitlich konstante Ausfallsrate:

h(t) = \frac{f(t)}{R(t)} = \frac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}} = \lambda

Kreditwesen[Bearbeiten]

Die Ausfallrate bestimmt sich nach den gerateten Krediten multipliziert mit deren Ausfallwahrscheinlichkeit.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Arno Meyna, Bernhard Pauli: Zuverlässigkeitstechnik. Quantitative Bewertungsverfahren. 2. Auflage. Hanser, 2010, ISBN 978-3-446-41966-7.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]