Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Umkreismittelpunkt (blau), Schwerpunkt (grün) und Höhenschnittpunkt (rot) liegen auf einer Geraden

In der Geometrie versteht man unter den ausgezeichneten Punkten (auch: merkwürdigen Punkten) eines Dreiecks in erster Linie die folgenden vier Punkte:

• den Höhenschnittpunkt H (Schnittpunkt der Höhen),
• den Umkreismittelpunkt U (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen)),
• den Inkreismittelpunkt I (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen)) und
• den Schwerpunkt S (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden (Schwerlinien)).

Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt liegen immer auf einer Geraden, der eulerschen Geraden. Auf ihr, und zwar in der Mitte zwischen H und U, liegt auch der Mittelpunkt des Feuerbachkreises.

Weitere Punkte nach der Encyclopedia of Triangle Centers

→ Hauptartikel: Encyclopedia of Triangle Centers

Dreieck mit den "klassischen" ausgezeichneten Punkten und der eulerschen Geraden.

Neben den vier "klassischen" ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks (Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt, Höhenschnittpunkt), die schon in der Antike bekannt waren, wurden in den letzten Jahrhunderten viele weitere Punkte gefunden und untersucht. Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers (siehe Weblink) führt mehr als 5400 besondere Punkte und ihre wichtigsten Eigenschaften auf. Die in diesem Verzeichnis eingeführte Standardbezeichnung, bestehend aus dem Buchstaben X und einem Index, wird heute in vielen Abhandlungen zur Dreiecksgeometrie verwendet. Die folgende Tabelle nennt einige wichtige Beispiele:

Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
Inkreismittelpunkt	$X_1$
Schwerpunkt	$X_2$
Umkreismittelpunkt	$X_3$
Höhenschnittpunkt (Orthozentrum)	$X_4$
Mittelpunkt des Feuerbach-Kreises	$X_5$
Lemoine-Punkt (Symmedianenpunkt, Grebe-Punkt)	$X_6$
Gergonne-Punkt	$X_7$
Nagel-Punkt	$X_8$
Mittenpunkt	$X_9$
Spieker-Punkt (Spieker-Zentrum)	$X_{10}$
Feuerbachpunkt (Berührungspunkt von Inkreis und Feuerbachkreis)	$X_{11}$
1. Fermat-Punkt	$X_{13}$
2. Fermat-Punkt	$X_{14}$
1. isodynamischer Punkt	$X_{15}$
2. isodynamischer Punkt	$X_{16}$
1. Napoleon-Punkt	$X_{17}$
2. Napoleon-Punkt	$X_{18}$
Longchamps-Punkt	$X_{20}$
Schiffler-Punkt	$X_{21}$
Bevan-Punkt	$X_{40}$
Kosnita-Punkt	$X_{54}$
Isoperimetrischer Punkt	$X_{175}$
Punkt des gleichen Umwegs	$X_{176}$
1. Vecten-Punkt	$X_{485}$
2. Vecten-Punkt	$X_{486}$

Verwandte Themen

Neben Einzelpunkten lassen sich einem Dreieck auch verschiedene Tupel von Punkten zuordnen:

• Morley-Dreieck
• Napoleon-Dreieck
• Höhenfußpunktdreieck
• Brocard-Punkte
• Johnson-Dreieck
• Kiepert-Dreieck

Spezielle Kreise sind:

• Umkreis, Inkreis, Ankreise
• Feuerbach-Kreis (Neun-Punkte-Kreis)
• Lamoen-Kreis
• Taylor-Kreis
• Johnson-Kreise

Weblinks

• Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers
• Merkwürdige Punkte und Linien am Dreieck
• Besondere Punkte beim Dreieck Animation mit Konstruktionsmöglichkeit, Landesbildungsserver Baden-Württemberg
• Lehrsätze zum Dreieck - Visualisierungen mit GeoGebra

Literatur

• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. 2. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0576-8.
• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.