Axiom

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Axiom (Begriffsklärung) aufgeführt.

Ein Axiom ist ein Grundsatz einer Theorie, einer Wissenschaft oder eines axiomatischen Systems, der innerhalb dieses Systems nicht begründet oder deduktiv abgeleitet wird.

Abgrenzungen[Bearbeiten]

Innerhalb einer formalisierbaren Theorie ist eine These ein Satz, der bewiesen werden soll.[1] Ein Axiom ist ein Satz, der nicht in der Theorie bewiesen werden soll, sondern beweislos vorausgesetzt wird. Wenn die gewählten Axiome der Theorie logisch unabhängig sind, so kann keines von ihnen aus den anderen hergeleitet werden. Im Rahmen eines formalen Kalküls sind die Axiome dieses Kalküls immer ableitbar. Dabei handelt es sich im formalen oder syntaktischen Sinne um einen Beweis; semantisch betrachtet handelt es sich um einen Zirkelschluss. Ansonsten gilt: „Geht eine Ableitung von den Axiomen eines Kalküls bzw. von wahren Aussagen aus, so spricht man von einem Beweis.“[2]

Axiom wird als Gegenbegriff zu Theorem (im engeren Sinn) verwendet.[3] Theoreme wie Axiome sind Sätze eines formalisierten Kalküls, die durch Ableitungsbeziehungen verbunden sind. Theoreme sind also Sätze, die durch formale Beweisgänge von Axiomen abgeleitet werden.[4] Mitunter werden die Ausdrücke These und Theorem jedoch im weiteren Sinn für alle gültigen Sätze eines formalen Systems verwendet, d. h. als Oberbegriff, der sowohl Axiome als auch Theoreme im ursprünglichen Sinn umfasst.[5]

Axiome können somit als Bedingungen der vollständigen Theorie verstanden werden, insofern diese in einem formalisierten Kalkül ausdrückbar sind. Innerhalb einer interpretierten formalen Sprache können verschiedene Theorien durch die Auswahl der Axiome unterschieden werden. Bei nicht-interpretierten Kalkülen der formalen Logik spricht man statt von Theorien allerdings von logischen Systemen, die durch Axiome und Schlussregeln vollständig bestimmt sind. Dies relativiert den Begriff der Ableitbarkeit oder Beweisbarkeit: Sie besteht immer nur in Bezug auf ein gegebenes System.[6] Die Axiome und die abgeleiteten Aussagen gehören zur Objektsprache, die Regeln zur Metasprache.[6]

Ein Kalkül ist jedoch nicht notwendigerweise ein Axiomatischer Kalkül, der also „aus einer Menge von Axiomen und einer möglichst kleinen Menge von Schlussregeln“ besteht.[7] Daneben gibt es auch Beweis-Kalküle und Tableau-Kalküle.

Unterscheidungen[Bearbeiten]

Der Ausdruck Axiom wird in drei Grundbedeutungen verwendet. Er bezeichnet

  1. einen unmittelbar einleuchtenden Grundsatz – den klassischen (materialen) Axiombegriff
  2. ein Naturgesetz, das als Prinzip für empirisch gut bestätigte Regeln postuliert werden kann – den naturwissenschaftlichen (physikalischen) Axiombegriff
  3. einen Ausgangssatz, der in einem Kalkül einer formalen Sprache als gültig vorausgesetzt wird – den modernen (formalen) Axiombegriff.

Klassischer Axiombegriff[Bearbeiten]

Der klassische Axiombegriff wird auf die Elemente der Geometrie des Euklid und die Analytica posteriora des Aristoteles zurückgeführt. Axiom bezeichnet klassisch ein unmittelbar einleuchtendes oder konventionell akzeptiertes Prinzip bzw. eine Bezugnahme auf ein solches. Diese Bedeutung war bis in das 19. Jahrhundert herrschend. Ein Axiom in diesem Sinne bedarf weder eines Beweises, noch ist es einem Beweis zugänglich. Axiome wurden dabei angesehen als wahre Sätze über existierende Gegenstände, die diesen Sätzen äußerlich sind. Im 19. Jahrhundert begann allerdings eine Untersuchung unterschiedlicher Axiomensysteme für unterschiedliche Geometrien (euklidische, hyperbolische, sphärische Geometrie usw.), die unmöglich allesamt die aktuale Welt beschreiben konnten. Dies wird als ein Motiv dafür betrachtet, dass der Axiombegriffs formalistischer verstanden wurde. Eine alternative Auffassungsweise bezieht daher ein Axiomensystem nicht einfachhin auf die aktuale Welt, sondern folgt dem Schema: Wenn irgendeine Struktur die Axiome erfüllt, dann erfüllt sie auch die Ableitungen aus den Axiomen (sog. Theoreme). Diese Auffassung wird oft als Implikationismus, Deduktivismus oder eliminativer Strukturalismus bezeichnet.[8]

In axiomatisierten Kalkülen im Sinne der modernen formalen Logik können die klassischen epistemologischen (Evidenz, Gewissheit), ontologischen (Referenz auf ontologisch Grundlegenderes) oder konventionellen (Akzeptanz in einem bestimmten Kontext) Kriterien für die Auszeichnung von Axiomen entfallen. Axiome unterscheiden sich von Theoremen dann nur formal dadurch, dass sie die Grundlage logischer Ableitungen in einem gegebenen Kalkül sind.[9]

Materialer Axiombegriff[Bearbeiten]

In den empirischen Wissenschaften bezeichnet man als Axiome auch grundlegende Gesetze, die vielfach empirisch bestätigt worden sind.[10] Als Beispiel werden die Newtonschen Axiome der Mechanik genannt.

Auch wissenschaftliche Theorien, insbesondere die Physik, beruhen auf Axiomen. Aus diesen werden Theorien geschlussfolgert, deren Theoreme und Korollare Vorhersagen über den Ausgang von Experimenten treffen. Stehen Aussagen der Theorie im Widerspruch zur experimentellen Beobachtung, werden die Axiome angepasst. Beispielsweise liefern die Newtonschen Axiome nur für „langsame“ und „große“ Systeme gute Vorhersagen und sind durch die Axiome der speziellen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik abgelöst bzw. ergänzt worden. Trotzdem verwendet man die Newtonschen Axiome weiter für solche Systeme, da die Folgerungen einfacher sind und für die meisten Anwendungen die Ergebnisse hinreichend genau sind.

Formaler Axiombegriff[Bearbeiten]

Durch Hilbert (1899) wurde ein formaler Axiombegriff herrschend: Ein Axiom ist jede unabgeleitete Aussage. Dies ist eine rein formale Eigenschaft. Die Evidenz oder der ontologische Status eines Axioms spielt keine Rolle und bleibt einer gesondert zu betrachtenden Interpretation überlassen.

Ein Axiom ist dann eine grundlegende Aussage, die

  • Bestandteil eines formalisierten Systems von Sätzen ist,
  • ohne Beweis angenommen wird und
  • aus der zusammen mit anderen Axiomen alle Sätze (Theoreme) des Systems logisch abgeleitet werden.

Teilweise wird behauptet, in diesem Verständnis seien Axiome völlig willkürlich:[11] Ein Axiom sei „ein unbewiesener und daher unverstandener Satz“,[11] denn ob ein Axiom auf Einsicht beruht und daher „verstehbar“ ist, spielt zunächst keine Rolle.[12] Richtig daran ist, dass ein Axiom – bezogen auf eine Theorie – unbewiesen ist. Das heißt aber nicht, dass ein Axiom unbeweisbar sein muss. Die Eigenschaft, ein Axiom zu sein, ist relativ zu einem formalen System. Was in einer Wissenschaft ein Axiom ist, kann in einer anderen ein Theorem sein.

Ein Axiom ist unverstanden nur insofern, als seine Wahrheit formal nicht bewiesen, sondern vorausgesetzt ist. Der moderne Axiombegriff dient dazu, die Axiomeigenschaft von der Evidenzproblematik abzukoppeln, was aber nicht notwendigerweise bedeutet, dass es keine Evidenz gibt. Es ist allerdings ein bestimmendes Merkmal der axiomatischen Methode, dass bei der Deduktion der Theoreme nur auf der Basis formaler Regeln geschlossen wird und nicht von der Deutung der axiomatischen Zeichen Gebrauch gemacht wird.[13]

Beispiele für Axiome[Bearbeiten]

Traditionelle Logik[Bearbeiten]

Klassische Logik[Bearbeiten]

Die ursprüngliche Formulierung stammt aus der Naiven Mengenlehre Georg Cantors und schien lediglich den Zusammenhang zwischen Extension und Intension eines Begriffs klar auszusprechen. Es bedeutete einen großen Schock, als sich herausstellte, dass es in der Axiomatisierung durch Gottlob Frege nicht widerspruchsfrei zu den anderen Axiomen hinzugefügt werden konnte, sondern die Russellsche Antinomie hervorrief.

Mathematik[Bearbeiten]

Axiome bilden das Fundament der Mathematik

Generell werden in der Mathematik Begriffe wie Gruppe, Ring, Körper, Hilbertraum, Topologischer Raum etc. durch ein System von Axiomen definiert.

  • Die Körperaxiome in Verbindung mit den Anordnungsaxiomen und dem Vollständigkeitsaxiom definieren die reellen Zahlen.
  • Parallelenaxiom: „Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, gibt es genau eine zu der Geraden parallele Gerade durch diesen Punkt.“ Dieses Postulat der euklidischen Geometrie galt immer als weniger einleuchtend als die anderen. Da seine Gültigkeit bestritten wurde, versuchte man, es aus den anderen Definitionen und Postulaten abzuleiten. Im Rahmen der Axiomatisierung der Geometrie um die Wende zum 19. Jahrhundert stellte sich heraus, dass eine solche Ableitung nicht möglich ist, da es von der Axiomatisierung der anderen Postulate logisch unabhängig ist. Damit war der Weg frei zur Anerkennung nichteuklidischer Geometrien.
  • „Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n+1.“ ist ein Axiom der Peano-Arithmetik, die das System der natürlichen Zahlen mit den Rechenoperationen Addition und Multiplikation beschreibt.
  • Der Begriff „Wahrscheinlichkeit“ wird seit 1933 durch ein von Kolmogorow aufgestelltes Axiomensystem exakt implizit definiert. Damit wurden alle verschiedenen stochastischen Schulen – Franzosen, Deutsche, Briten, Frequentisten, Bayesianer, Probabilisten und Statistiker – erstmals mit einer einheitlichen Theorie versorgt.

Physik[Bearbeiten]

Auch Theorien der empirischen Wissenschaften lassen sich „axiomatisiert“ rekonstruieren. In der Wissenschaftstheorie existieren allerdings unterschiedliche Auffassungen darüber, was es überhaupt heißt, eine „Axiomatisierung einer Theorie“ vorzunehmen.[15] Für unterschiedliche physikalische Theorien wurden Axiomatisierungen vorgeschlagen. Hans Reichenbach widmete sich u. a. in drei Monographien seinem Vorschlag einer Axiomatik der Relativitätstheorie,[16] wobei er insbesondere stark von Hilbert beeinflusst war.[17] Auch Alfred Robb[18] und Constantin Carathéodory[19] legten Axiomatisierungsvorschläge zur speziellen Relativitätstheorie vor. Sowohl für die spezielle wie für die allgemeine Relativitätstheorie existiert inzwischen eine Vielzahl von in der Wissenschaftstheorie und in der Philosophie der Physik diskutierten Axiomatisierungsversuchen. Patrick Suppes und andere haben etwa für die klassische Partikelmechanik in ihrer Newtonschen Formulierung eine vieldiskutierte axiomatische Rekonstruktion im modernen Sinne vorgeschlagen,[20] ebenso legten bereits Georg Hamel,[21] ein Schüler Hilberts, sowie Hans Hermes Axiomatisierungen der klassischen Mechanik vor.[22] Zu den meistbeachteten Vorschlägen einer Axiomatisierung der Quantenmechanik zählt nach wie vor das Unternehmen von Günther Ludwig.[23] Für die Axiomatische Quantenfeldtheorie war v. a. die Formulierung von Arthur Wightman aus den 1950er Jahren wichtig.[24] Im Bereich der Kosmologie war für Ansätze einer Axiomatisierung u. a. Edward Arthur Milne besonders einflussreich.[25] Für die klassische Thermodynamik existieren Axiomatisierungsvorschläge u. a. von Giles,[26] Boyling,[27] Jauch,[28] Lieb und Yngvason.[29] Für alle physikalischen Theorien, die mit Wahrscheinlichkeiten operieren, insbes. die Statistische Mechanik, wurde die Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch Kolmogorow wichtig.[30]

Verhältnis von Experiment und Theorie[Bearbeiten]

Die Axiome einer physikalischen Theorie sind weder formal beweisbar noch, so die inzwischen übliche Sichtweise, direkt und insgesamt durch Beobachtungen verifizierbar oder falsifizierbar. Einer insbes. im wissenschaftstheoretischen Strukturalismus verbreiteten Sichtweise von Theorien und ihrem Verhältnis zu Experimenten und resultierenden Redeweise zufolge betreffen Prüfungen einer bestimmten Theorie an der Realität vielmehr üblicherweise Aussagen der Form „dieses System ist eine klassische Partikelmechanik“. Gelingt ein entsprechender Theorietest, wurden z. B. korrekte Prognosen von Messwerten angegeben, kann diese Überprüfung ggf. als Bestätigung dafür gelten, dass ein entsprechendes System zutreffenderweise unter die intendierten Anwendungen der entsprechenden Theorie gezählt wurde, bei wiederholten Fehlschlägen kann und sollte die Menge der intendierten Anwendungen um entsprechende Typen von Systemen reduziert werden.

Literatur[Bearbeiten]

Artikel in fachbezogenen Enzyklopädien und Wörterbüchern[Bearbeiten]

Monographien[Bearbeiten]

  • Evandro Agazzi: Introduzione ai problemi dell’assiomatica, Milano 1961
  • Robert Blanché: Axiomatics, London: Routledge 1962
  • Euklid: Die Elemente. Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 4. erw. Aufl. 2005
  • David Hilbert u. a.: Grundlagen der Geometrie, Teubner 2002, ISBN 3-519-00237-X
  • Árpád Szabó: Anfänge der griechischen Mathematik, Oldenbourg 1969, ISBN 3-486-47201-1
  • Bochenski: Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. (1993), S. 73 ff.
  • Carnap: Einführung in die symbolische Logik, 3. Aufl. (1968), S. 172 ff.
  • Hilbert/Ackermann: Grundzüge der theoretischen Logik, 6. Aufl. (1972), S. 24
  • Kutschera: Frege (1989), S. 154 f.
  • Nagel/Newmann: Der Gödelsche Beweis, in: Meixner, (Hrsg.), Philosophie der Logik (2003), S. 150 (169)
  • Tarski: Einführung in die mathematische Logik, 5. Aufl. (1977), S. 126 ff.

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Axiom – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/These
  2. Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Ableitung
  3. So bei Tarski, Einführung in die mathematische Logik, 5. Aufl. (1977), S. 127
  4. Vgl. Carnap, Einführung in die symbolische Logik, 3. Aufl. (1968), S. 172
  5. So z. B. Paul Ruppen: Einstieg in die formale Logik: Ein Lern- und Übungsbuch für Nichtmathematiker, Peter Lang, Bern 1996, S. 125
  6. a b Bochenski, Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. (1993), S. 79
  7. Bußmann, Lexikon der Sprachwissenschaft, 3. Aufl. (2002)/Kalkül
  8. Vgl. z. B. Michael Potter: Set Theory and its Philosophy. A Critical Introduction. Oxford University Press, Oxford/New York 2004, S. 8.
  9. Vgl. Joseph Maria Bocheński: Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. 1993, S. 78 f.
  10. Regenbogen/Meyer: Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Axiom
  11. a b Seiffert, Wissenschaftstheorie IV (1997), Anfang
  12. Seiffert, Wissenschaftstheorie IV (1997), Axiom
  13. Carnap: Einführung in die symbolische Logik, 3. Aufl. (1968), S. 174
  14. Spree, in: Rehfus, Handwörterbuch Philosophie (2003)/Axiom
  15. Vgl. dazu einführend und repräsentativ für den damaligen Debattenstand Wolfgang Stegmüller: Probleme und Resultate der Wissenschaftstheorie und Analytischen Philosophie, Band II: Theorie und Erfahrung, Zweiter Teilband: Theorienstrukturen und Theoriendynamik, Springer, Berlin u. a. 2. Aufl. 1985, S. 34 ff.
  16. Vgl. bes. H. Reichenbach: Axiomatik der relativistischen Raum-Zeit-Lehre, Vieweg, Braunschweig 1924.
  17. Vgl. zu den zeitgenössischen Diskussionslagen K. Brading, T. Ryckman: Hilbert's 'Foundations of Physics': Gravitation and Electromagnetism within the axiomatic method. In: Studies in History and Philosophy of Modern Physics 39 (2008), 102–53.
  18. Vgl. A. A. Rob: A Theory of Space and Time. Cambridge University Press, Cambridge 1914.
  19. Vgl. C. Carathéodory: Zur Axiomatik der Relativitätstheorie. In: Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-Mathematische Klasse 5 (1924), 12-27.
  20. Vgl. J. C. C. McKinsey, A. C. Sugar, P. Suppes: Axiomatic Foundations of Classical Particle Mechanics. In: Journal of Rational Mechanics and Analysis 2 (1953), S. 253-272. Dieser Ansatz wird in etwas modifizierter Form rekapituliert und diskutiert bei Stegmüller, l. c., S. 106 ff.
  21. Vgl. G. Hamel: Die Axiome der Mechanik. In: H. Geiger, K. Scheel (Hgg.): Handbuch der Physik, Bd. 5: Mechanik der Punkte und starren Körper, Springer, Berlin 1927, S. 1-42. Ders.: Zur Axiomatisierung der Mechanik. In: L. Henkin, P. Suppes, A. Tarski (Hgg.): The Axiomatic Method, Amsterdam 1959, S. 282-290 (Digitalisat bei archive.org).
  22. H. Hermes: Eine Axiomatisierung der allgemeinen Mechanik. Forschungen zur Logik, Neue Folge 3, Hirzel, Leipzig 1938.
  23. Vgl. G. Ludwig: Deutung des Begriffs “physikalische Theorie” und axiomatische Grundlegung der Hilbertraumstruktur der Quantenmechanik durch Hauptsätze des Messens, Lecture Notes in Physics 4, Springer, Berlin 1970 und Ders.: An Axiomatic Basis for Quantum Mechanics, Vol. 1/2, Springer, Berlin 1985/1987.
  24. Publiziert erst 1964 in A. Wightman, Ray Streater: PCT, Spin, Statistik und all das, BI Hochschultaschenbuch 1964 / PCT, Spin, Statistics and all that, Benjamin, New York 1964.
  25. Vgl. die einführende Überblicksdarstellung bei George Gale: Cosmology: Methodological Debates in the 1930s and 1940s. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy
  26. Vgl. R. Giles: Mathematical foundations of thermodynamics, Pergamon, Oxford 1964.
  27. Vgl. J. B. Boyling: An axiomatic approach to classical thermodynamics. In: Proceedings of the Royal Society of London 329 (1972), 35–71.
  28. Vgl. J. Jauch: On a new foundation of equilibrium thermodynamics. In: Foundations of Physics 2 (1972), 327–332.
  29. Vgl. Elliott H. Lieb, Jakob Yngvason: The physics and mathematics of the second law of thermodynamics. In: Physics Reports 310 (1999), 1–96.314.669.
  30. Vgl. N. A. Kolmogorov: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit, Springer, Berlin 1933. Einführung zu aktuellen philosophischen Interpretationen von Wahrscheinlichkeiten und zu Kolmogorows Grundlegung: Alan Hájek: Interpretations of Probability. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy; Thomas Hochkirchen: Die Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Kontexte: von Hilberts sechstem Problem zu Kolmogoroffs Grundbegriffen, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen 1999.