Axonometrie

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Die Axonometrie ist ein Verfahren in der darstellenden Geometrie, um relativ einfach räumliche Objekte in einer Zeichenebene darzustellen. Hierbei verwendet man die Koordinaten wesentlicher Punkte und die Bilder der drei Koordinatenachsen in einer Zeichenebene. Das Resultat ist für jede Wahl der Bildachsen bis auf eine Skalierung eine Parallelprojektion. Im Allgemeinen ergibt sich eine schiefe (oder schräge) Parallelprojektion. Nur bei besonderer Wahl der Bildachsen und der Verzerrungsverhältnisse ergibt sich eine orthogonale (oder senkrechte) Parallelprojektion, das heißt die Abbildungsstrahlen stehen senkrecht auf der Bildebene (s. orthogonale Axonometrie).

Prinzip der Axonometrie[Bearbeiten]

Prinzip der Axonometrie
verschiedene Axonometrien eines Einheitswürfels (Kavalierprojektionen)
Vogelperspektiven eines Hauses
Parameter einer allgemeinen Axonometrie

Man denkt sich die Koordinatenachsen zusammen mit den Punkten (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1) mit Hilfe paralleler Strahlen auf eine Zeichenebene projiziert. Die Einheitsstrecken werden in der Regel verzerrt wiedergegeben. Die Verzerrungsverhältnisse werden mit v_x, v_y und v_z bezeichnet. Ein Punkt P=(x,y,z) wird nun wie folgt in das Bild mit den Koordinatenachsen eingetragen:

Man gehe vom Nullpunkt \overline{O}
um x\cdot v_x in \overline{x}-Richtung, dann
um y\cdot v_y in \overline{y}-Richtung und schließlich
um z\cdot v_z in \overline{z}-Richtung.

(Die Reihenfolge kann beliebig vertauscht werden.)

Da für eine konkrete Projektionsrichtung und Lage der Bildebene es sehr mühsam ist, die Bildachsen und die Verzerrungen zu konstruieren, wählt man ganz einfach die Bilder der Koordinatenachsen in der Zeichenebene und gibt sich geeignete Verzerrungen vor. Die mathematische Rechtfertigung dafür ist der Satz von Pohlke: Für (fast) jede Wahl der Bildachsen und Verzerrungen erhält man bis auf Ähnlichkeit (Skalierung) das Bild einer Parallelprojektion. (Die Bilder der Koordinatenachsen dürfen nicht auf eine Gerade fallen, die Verzerrungen sollen größer als null sein.)

Wahl der Bildachsen und Verzerrungen[Bearbeiten]

Nur bei geeigneter Wahl von Bildachsen und Verzerrungen ist der Bildeindruck gut. Die beste Bildwirkung erzielt man, wenn man die Bildachsen und die Verzerrungsverhältnisse so wählt, dass das Ergebnis eine senkrechte Parallelprojektion ist. Da man mit möglichst einfachen Verzerrungsverhältnissen (z.B.: 1 oder 0,5) arbeiten möchte, kann man sich bei der Wahl der Bildachsen und Verzerrungen an folgenden Beispielen (siehe Bild) orientieren.

Bei allen vier Beispielen ist die Bildebene parallel zur yz-Ebene. Es sind somit sogenannte Kavalierprojektionen oder Kavalierperspektiven. Die Bildwirkung ist wie die für einen Reiter. Eine starke Vereinfachung tritt auch dann ein, wenn im Bild sich die Bilder der x-Achse und der y-Achse im rechten Winkel schneiden. Solche Axonometrien werden bei Stadtplänen verwendet, um Maßstabgerechtigkeit (horizontal) und Anschaulichkeit von Gebäuden zu erreichen. Diese Axonometrien heißen Vogelperspektiven oder Militärprojektionen.

Hat man Karo-Papier zur Verfügung, so bietet sich die folgende Wahl für Achsen und Verzerrungen an: Zwei Koordinatenachsen fallen mit den Hauptrichtungen des Karo-Papiers zusammen, die dritte Achse verläuft in Richtung der Karo-Diagonalen (siehe Eingangsbild). Um die Konstruktion einfach zu halten, sollte man die Einheiten auf der waagrechten und senkrechten Achse zwei Kästchen und auf der Diagonalrichtung eine Kästchendiagonale als Einheit wählen. Dann gilt beispielsweise v_x:v_y:v_z= 1/\sqrt 2 :1:1 (s. Bild, oben).

Axonometrien mit zwei gleichen Verzerrungen heißen dimetrisch, mit drei gleichen Verzerrungen isometrisch, ansonsten trimetrisch.

Ingenieurprojektion[Bearbeiten]

zur Ingenieur-Axonometrie

Bei einer Ingenieurprojektion sind die Verzerrungen

v_x=0.5, v_y=v_z=1 (dimetrische Axonometrie).

In der Projektion ist der

Winkel zwischen der \overline{z}-Achse und der \overline{x}-Achse 132^\circ,
Winkel zwischen der \overline{z}-Achse und der \overline{y}-Achse 97^\circ.

(siehe Geodreieck)

Vorteile der Ingenieurprojektion sind:

  • einfache Verzerrungen,
  • fast eine senkrechte Axonometrie (gute Bildwirkung, der Skalierungsfaktor ist 1,06),
  • der Umriss einer Kugel ist ein Kreis (ansonsten ist er eine Ellipse).

Isometrische Axonometrie[Bearbeiten]

Beispiele in Standard-Isometrie: Würfel, Quader, Haus und Kugel

Bei der isometrischen Axonometrie, kurz: Isometrie, sind die Verzerrungen alle gleich. Die Winkel zwischen den Achsen-Bildern können noch frei gewählt werden. (Man beachte die Mehrfachbedeutung des Ausdrucks Isometrie in der Mathematik.)

Als Standard-Isometrie hat sich diejenige bewährt, für die die Verzerrungen alle gleich 1 und die Winkel zwischen den Achsen alle 120 Grad sind. Die Vorteile dieser Parameterwahl sind:

  • Die Koordinaten können unverändert übernommen werden,
  • Das axonometrische Bild ist eine um den Faktor \sqrt{1.5}=1.225 skalierte Orthogonalprojektion (senkrechte Parallelprojektion). Daraus resultiert eine gute Bildwirkung und der Umriss einer Kugel ist ein Kreis.
  • Zeichensysteme, wie z.B. xfig, bieten ein Dreiecksraster, um das Zeichnen von Objekten mit achsenparallelen Kanten zu erleichtern (s. Bild).

Ein Schönheitsfehler aufgrund der Symmetrie ist, dass zwei der 8 Eckpunkte eines achsenparallelen Würfels zusammenfallen (s. Bild).

Überblick über die speziellen Axonometrien[Bearbeiten]

Parameter spezieller Axonometrien

Bei einer allgemeinen Axonometrie können die zwei Winkel 0<\alpha,\beta zwischen den Achsen und die Verzerrungen 0<v_x,v_y,v_z (fast) frei gewählt werden. Damit alle drei Achsenbilder nicht auf einer Gerade liegen, muss 0<\alpha+\beta<360^\circ sein. Diese Beschränkung für die Wahl der Winkel garantiert eine Ansicht von schräg oben. Die Beschränkung 360<\alpha+\beta<720^\circ liefert Ansichten von schräg unten . Sie vertauscht die übliche Orientierung von der x-Achse zu der y-Achse. Negative Verzerrungen würden die übliche Orientierung der Achsen verändern.

Kreise in der Axonometrie[Bearbeiten]

Axonometrie: Kreise in Kavalierprojektion

Kreise werden bei Parallelprojektion im Allgemeinen auf Ellipsen abgebildet. Ein wichtiger Sonderfall: Ein Kreis, dessen Kreisebene parallel zur Bildtafel ist, wird unverzerrt abgebildet. Dies ist beispielsweise der Fall bei einer Kavalierprojektion, bei der die yz-Ebene (siehe Beispiel) unverzerrt abgebildet wird. Bei einer Vogelperspektive bleiben alle horizontalen Kreise unverzerrt. Falls ein Kreis zu einer Ellipse verzerrt wird (s. Bild), kann man einige Punkte und ein Tangentenquadrat abbilden und in das Bild des Quadrates (Parallelogramm) eine Ellipse von Hand oder mit einem Zeichenprogramm einpassen. Dabei ist zu beachten, dass die Bilder von senkrechten Kreisdurchmessern im Allgemeinen nicht die Hauptachsen der Bildellipse, sondern konjugierte Durchmesser sind. Aus diesen kann man die Hauptachsen mit Hilfe der Rytzsche Achsenkonstruktion rekonstruieren. Anschließend lässt sich die Ellipse mit einem Zeichenprogramm oder einem Ellipsenzirkel exakt zeichnen. Falls man nur Zirkel, Lineal und ein Kurvenlineal zur Hand hat, lässt sich die Ellipse erstaunlich gut und schnell mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise näherungsweise zeichnen (s. Ellipse oder C. Leopold, S. 64). In der orthogonalen Axonometrie kommt man meistens ohne die aufwändige Rytzkonstruktion aus.

Kugeln in der Axonometrie[Bearbeiten]

Vogelperspektive einer Kugel mit vz=1

Der Umriss einer Kugel ist nur bei orthogonaler Axonometrie einfach ein Kreis mit dem Radius der Kugel. Da sowohl die Ingenieuraxonometrie als auch die Standardisometrie skalierte Orthogonalprojektionen sind (s. oben), erscheint der Umriss einer Kugel hier auch jeweils als Kreis, allerdings skaliert. In einer beliebigen Axonometrie erscheint der Umriss einer Kugel als Ellipse, was den Betrachter irritieren mag (s. Kugel in isometrischer Vogelperspektive). Deshalb sollte man Szenen mit Kugeln besser mit orthogonaler Axonometrie oder wenigstens in Ingenieur-Axonometrie oder Standardisometrie abbilden.

Quellen[Bearbeiten]

  • Fucke, Kirch, Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig, 1998, ISBN 3-446-00778-4
  • Cornelie Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart, 2005, ISBN 3-17-018489-X

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Axonometrie – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen