BCH-Code

BCH-Codes (Bose-Chaudhuri-Hocquenghem-Codes) sind zyklische fehlerkorrigierende Codes, welche in der digitalen Signalverarbeitung und Datenspeicherung eingesetzt werden. Der Name BCH ergibt sich aus den Anfangsbuchstaben der drei Wissenschaftler, die diesen Code entwickelt haben: R. C. Bose, D. K. Ray-Chaudhuri und A. Hocquenghem. BCH-Codes korrigieren mehrere 1-Bit-Fehler in einem längeren Nutzer-Datenwort.

Definition

Sei $\beta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel in einem Erweiterungskörper des endlichen Körpers $\mathbb F_q$. Seien $l,\delta \in \mathbb{N}$, $\delta \ge 2$, und C der zyklische Code dessen Generatorpolynom das Produkt der verschiedenen Minimalpolynome $\beta^l, \dots \beta^{l+\delta-2}$ ist. (Dann besteht C also aus allen $f \in \mathbb F_q[x]/(x^n-1)$ mit $f(\beta^l) = \dots = f(\beta^{l+\delta-2})=0$ ), dann nennt man C einen BCH-Code mit geplantem Minimalabstand $\delta$, wobei C den Minimalabstand $d \ge \delta$ hat.

Für den Fall $l = 1$ spricht man von einem BCH-Code im gewöhnlichen Sinn.

Falls ein m existiert mit $n = q^m - 1$ (d.h. $\beta$ ist ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe eines Körpers $\mathbb F_{q^m}$), so spricht man von einem primitiven BCH-Code.

Ein Reed-Solomon-Code ist ein primitiver BCH-Code im gewöhnlichen Sinn, für den $n = q - 1$ gilt. Hier sind die Minimalpolynome also von der Form $x-\beta^i \in \mathbb F_q[x], i=1\ldots\delta-1$.

Einsatzbereiche

• Die sogenannten Reed-Solomon-Codes sind spezielle BCH-Codes und werden z. B. zur Fehlerkorrektur auf Audio-CDs eingesetzt.
• Der BCH-Code wird auch bei der Sicherung der TPS-Daten im DVB-T-Standard genutzt.

BCH(15, 7, 5)

Als Beispiel sei ein (n = 15, l = 7, d_min = 5) BCH-Code gegeben. Die Parameter n, l, d_min sind dabei wie folgt zu interpretieren. Der Code erzeugt Codewörter mit einer Länge von n = 15 Bits, wovon l = 7 Bits die kodierte Information enthalten und k = n - l Bits Redundanz zur Korrektur von Übertragungsfehlern dienen. Der Parameter d_min gibt die minimale Hammingsdistanz des Codes an.

Es gilt: Es können Übertragungsfehler von bis zu $d_\mathrm{min} - 1$ Einzelbitfehlern erkannt werden, es können Übertragungsfehler von bis zu $(d_\mathrm{min} - 1) / 2$ Einzelbitfehlern korrigiert werden. Bündelfehler von bis zu $f_\mathrm{b} \le k$ Bits werden erkannt.

Ein BCH-Code wird in der Regel durch sein Generatorpolynom beschrieben. Im gegebenen Beispiel lautet das Generatorpolynom $g(x) = x^8 + x^7 + x^6 + x^4 + 1$. Die Anzahl der Prüfbits k lässt sich übrigens immer aus dem Generatorpolynom ablesen. Es gilt $k = \operatorname{Grad}(g)$.

Kodieren

Zum Kodieren mit BCH-Kodes können das Multiplikations- oder das Divisionsverfahren verwendet werden.

Multiplikationsverfahren

Beim Multiplikationsverfahren wird das zu kodierende Quellkodewort aus l = 7 Bits einfach mit dem Generatorpolynom des BCH-Codes multipliziert. Es gilt: $a(x) = a^*(x) \cdot g(x)$. Dabei steht a(x) für das kodierte Kanalkodewort, a*(x) steht für das unkodierte Quellkodewort. Die Multiplikation kann sowohl mit Polynomen als auch mit einer binären Darstellung der Polynome durchgeführt werden.

Hier wollen wir ein Beispiel in binärer Darstellung durchrechnen:

Das gegebene Generatorpolynom $g(x) = x^8 + x^7 + x^6 + x^4 + 1$ lässt sich binär als die Folge $g = 111010001$ darstellen (die Folge ist dabei zu interpretieren als $g(x) = 1 \cdot x^8 + 1 \cdot x^7 + 1 \cdot x^6 + 0 \cdot x^5 + 1 \cdot x^4 + 0 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x^1 + 1 \cdot x^0$).

Als zu kodierendes Quellkodewort dient in unserem Beispiel $a^* = 1001011$ bzw. $a^*(x) = 1 \cdot x^6 + 0 \cdot x^5 + 0 \cdot x^4 + 1 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 1 \cdot x^1 + 1 \cdot x^0$.

Um das kodierte Kanalkodewort zu erhalten, müssen wir jetzt also einfach a* mit g multiplizieren:

$a = a^* \cdot g = 1001011 \cdot 111010001 = 111100010111011$

Divisionsverfahren

Das Divisionsverfahren ermöglicht es zu einem gegebenen Quellkodewort genau jenes Kanalkodewort zu ermitteln, welches das gegebene Quellkodewort als Präfix hat, weswegen man sagt, das Verfahren liefert einen systematischen Kode. Für ein gegebenes Generatorpolynom $g$ und ein Quellkodewort $a^*$ errechnet man das zugehörige Kanalkodewort $a$ nach Divisionsverfahren wie folgt:

$a := a^* \cdot x^k - \left( a^* \cdot x^k \right) \bmod g$

Das heißt, man muss den Rest der Polynom-Division $\left( a^* \cdot x^k \right) : g$ ermitteln und diesen von $a^* \cdot x^k$ subtrahieren. Am Beispiel von oben:

$\begin{array}{ccccc} g & = & x^8 + x^7 + x^6 + x^4 + 1 & \mathrel{\widehat{=}} & 111010001 \\ a^* & = & x^6 + x^3 + x + 1 & \mathrel{\widehat{=}} & 1001011 \\ a^* \cdot x^k & = & x^{14} + x^{11} + x^9 + x^8 & \mathrel{\widehat{=}} & 100101100000000 \end{array}$

Die Division in Koeffizienten-Schreibweise lautet dann:

 100101100000000 : 111010001 = 1100111
  111111010
   001010110
    010101100
     101011000
      100010010
       110000110
        --------
        01010111

Damit gilt $a = 100101100000000 - 01010111 = \underbrace{1001011}_{a^*}01010111$.

Dekodieren

Die Dekodierung kann mittels verschiedener Verfahren nach folgendem Muster erfolgen:

1. Bestimmung des Syndromwertes (Divisionsrest) indem das empfangene Kanalkodewort a(x) durch das Generatorpolynom g(x) dividiert wird. Ist der Rest ungleich 0 liegen ein oder mehrere Fehler vor.
2. Bestimmen des Fehlerpolynoms.
3. Bestimmung der Wurzeln des Fehlerpolynoms zur Ermittlung der Fehlerpositionen im Codewort.
4. Bestimmung der Fehlerwerte

Übliche Algorithmen zur Dekodierung von BCH-Codes sind der Berlekamp-Massey-Algorithmus oder der Peterson-Gorenstein-Zierler-Algorithmus.

Beispiel

Wenn das Codewort vom obigen Beispiel ohne Fehler übertragen wird, bleibt als Rest der Division $a : g$ Null. Die Division in Koeffizienten-Schreibweise lautet dann:

 100101101010111 : 111010001 = 1100111
  111010001
   001010011
    010100110
     111010001
      100111001
       111010001
        --------
        00000000

Würde das Codewort während der Übertragung verfälscht, beispielsweise zu 101101011010111 (Stellen 3, 7 und 8), ergibt sich nach der Polynomdivision ein von 0 verschiedenes Fehlersyndrom:

 101101011010111 : 111010001 = 1111100
  101110100
   101001011
    100110100
     111001011
      000110101
       001101011
        --------
        01101001

Literatur

•  Shu Lin, Daniel J. Costello: Error Control Coding. Fundamentals and applications. 2. Auflage. Prentice Hall, Upper Saddle River NJ 2004, ISBN 0-13-042672-5.
•  Robert H. Morelos-Zaragoza: The Art of Error Correcting Coding. 2. Auflage. Wiley, New York NY 2006, ISBN 0-470-01558-6.