Bailey-Borwein-Plouffe-Formel

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In der Mathematik bezeichnet die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel (BBP-Formel) eine 1995 vom kanadischen Mathematiker Simon Plouffe entdeckte Summenformel zur Berechnung der Kreiszahl \pi.

Die von Plouffe entdeckte Reihe für \pi ist:

\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k}
\left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)

Die Formel ist nach den Autoren David H. Bailey, Peter Borwein und Simon Plouffe des Zeitschriftenartikels benannt, in dem die Formel erstmals veröffentlicht wurde.[1] Das Erstaunliche an dieser speziellen Formel ist, dass man daraus mit ein wenig Umstellen einen Algorithmus ableiten kann, der eine beliebige Ziffer der Darstellung von \pi im Hexadezimalsystem ohne Berechnung der vorherigen Ziffern ermittelt (Ziffer-Extraktion).

Polylogarithmische Konstante[Bearbeiten]

Seit Plouffes Entdeckung wurden viele ähnliche Formeln der Gestalt

\alpha = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{p(k)}{b^kq(k)}

entdeckt, die sich zu anderen fundamentalen mathematischen Konstanten (in der Darstellung zur Basis b) aufsummieren, wie z. B. zu den polylogarithmischen Konstanten \pi^2, \zeta(3) und zur Catalanschen Konstante G. Man bezeichnet diese Formeln als BBP-Reihen zur Basis b. Die Frage, zu welchen mathematischen Konstanten BBP-Reihen existieren, ist bislang unbeantwortet. Zu folgenden Primzahlen p existiert für \log\,p eine BBP-Reihe:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 37, 41, 43, 61, 73, 109, 113, 127, 151, 241, 257, 331, 337, 397, 683, 1321, 1429, 1613, 2113, 2731, 5419, 8191, 14449, 26317, 38737, 43691, 61681, 65537, 87211, 131071, 174763, 246241, 262657, 268501, 279073, 312709, …[2]

23, 47, 53 und 59 sind die kleinsten Primzahlen, die in dieser Liste fehlen. Es ist jedoch unbewiesen, ob zu \log 23 tatsächlich keine BBP-Reihe existiert. Vermutlich gibt es für Quadratwurzeln \sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, ..., die Eulersche Zahl e und die Eulersche Konstante \gamma keine BBP-Reihe, da dies (vermutlich) keine polylogarithmischen Konstanten sind.

BBP-Algorithmus[Bearbeiten]

An einem Beispiel soll gezeigt werden, wie man die Ziffern einer Zahlendarstellung erhält. So bekommt man z. B. die 4. Dezimalstelle von \pi durch

  • Multiplikation mit 10^3
 10^3\pi = 3141{,}5926\ldots 
  • Wegschneiden des ganzzahligen Teils …
 10^3\pi\,\bmod\, 1 = 0{,}5926\ldots 
  • Multiplikation mit 10
 (10^3\pi\,\bmod\, 1)\cdot 10 = 5{,}926\ldots 
  • und Wegschneiden des gebrochenen Teils …
 \lfloor(10^3\pi\,\bmod\, 1)\cdot 10\rfloor = 5 

wobei zur Notation der Modulo-Operator und die Gauss-Klammer verwendet werden.

Analog ergibt sich die n-te Stelle der Hexadezimaldarstellung \pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac {z_k}{16^k} von \pi zu

z_n=\lfloor(16^{n-1}\pi\,\bmod\, 1)\times 16\rfloor.

Multiplikation der Plouffe-Formel mit 16^{n-1} ergibt nach Unterteilung in vier Terme

16^{n-1}\pi=4\sigma_1-2\sigma_4-\sigma_5-\sigma_6 \quad \mbox{ mit } \quad
   \sigma_l=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{16^{n-k-1}}{8k+l}.

Da im Ausdruck für z_n nur der gebrochene Teil von 16^{n-1}\pi eingeht, entfernen wir zunächst von jedem einzelnen Summanden den ganzzahligen Teil. In den ersten n Summanden von \sigma_l erreichen wir dies durch Anwendung des Operators \bmod(8k+l) auf den Zähler, die restlichen Summanden mit k\geq n haben keinen ganzzahligen Teil. Damit ändert sich \sigma_l ab zu

\sigma'_l=
       \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(16^{n-k-1}\bmod(8k+l))}{8k+l} + 
       \sum_{k=n}^{\infty} \frac{16^{n-k-1}}{8k+l}

und es gilt

16^n\pi\equiv 4\sigma'_1-2\sigma'_4-\sigma'_5-\sigma'_6 \pmod{1}

unter Verwendung des Zeichens \equiv für Kongruenz. Da die veränderten Summen selbst und erst recht ihre Linearkombination noch ganze Zahlen enthalten können, müssen diese noch entfernt werden. Dann kann man mit 16 multiplizieren und den gebrochenen Teil wegschneiden, um schließlich z_n zu erhalten.

Vorteile des BBP-Algorithmus[Bearbeiten]

Diese Methode, nur die gerade benötigte Stelle von \pi zu extrahieren, erspart den Speicherplatz für die vorherigen Stellen. Weiter kann man einfachere Datentypen für die Speicherung der gewonnenen Stellen verwenden, die wiederum auch kürzere Zugriffszeiten haben, was den Algorithmus letztlich schneller macht. Daher hat diese Methode alle vorherigen Algorithmen zur Berechnung von \pi (die größere und komplexere Datentypen benötigten) überflüssig gemacht.

Literatur[Bearbeiten]

  • Marc Chamberland. Binary BBP-Formulae for Logarithms and Generalized Gaussian-Mersenne Primes. Journal of Integer Sequences, Vol. 6, 2003, nur digital (PDF; 175 kB)
  • David H. Bailey. A Compendium of BBP-Type Formulas for Mathematical Constants, 2004, online (PDF; 215 kB)
  • Barry Cipra. Digits of Pi in D.Mackenzie, B.Cipra (eds). What's happening in the Mathematical Sciences Vol.6, pp29-39. AMS 2006.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Bailey, David H., Borwein, Peter B., and Plouffe, Simon: On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants. In: Mathematics of Computation. 66, Nr. 218, April 1997, S. 903–913. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.
  2. Folge A104885 in OEIS

Weblinks[Bearbeiten]