Baker-Campbell-Hausdorff-Formel

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In der Mathematik ist die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel eine nach den Mathematikern Henry Frederick Baker, John Edward Campbell und Felix Hausdorff benannte Gleichung, die ein Vertauschungsgesetz für bestimmte lineare Operatoren angibt.

Vorbereitende Definitionen[Bearbeiten]

Ist X ein stetiger linearer Operator eines Banachraumes in sich, dann kann man das Exponential dieses Operators wie folgt als Reihe definieren:

e^X = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} X^k

Dabei bedeutet die Multiplikation eine Hintereinanderausführung und die Addition eine punktweise Addition der beteiligten Operatoren. Der Kommutator (auch Lie-Klammer) zweier linearer Operatoren X und Y ist definiert als

[X,Y] := XY-YX\,

Er ist ein bilinearer Operator. Aus der Definition folgt zunächst das sogenannte Hadamard-Lemma, auch Liesche Entwicklungsformel genannt:

e^X Y e^{-X} = \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!} [X,Y]_{m}

mit [X,Y]_{m} = [X,[X,Y]_{m-1}]\, und [X,Y]_{0}=Y\,.

Die Formel[Bearbeiten]

Falls [X,[X,Y]]=0\, und [Y,[Y,X]]=0\, (der Kommutator von X und Y also ein Skalar ist) gelten die einfachen Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln

e^X e^Y = e^Y e^X e^{[X,Y]}\,
e^{X+Y} = e^X e^Y e^{-[X,Y]/2}\,.

Für beliebige X und Y ist die Formel sehr umfangreich und nur noch für X,Y in einer Umgebung der 0 konvergierend. Sie lautet dann

e^Xe^Y = e^{Z(X,Y)}\,

mit

\begin{align}
Z(X,Y)&{}=X + Y  \\
&{} + \frac{1}{2}[X,Y] + 
\frac{1}{12}[X,[X,Y]] - \frac{1}{12}[Y,[X,Y]] \\
&{}\quad 
- \frac {1}{24}[Y,[X,[X,Y]]]  \\
&{}\quad 
- \frac{1}{720}([[[[X,Y],Y],Y],Y] +[[[[Y,X],X],X],X])
\\
&{}\quad +\frac{1}{360}([[[[X,Y],Y],Y],X]+[[[[Y,X],X],X],Y])\\
&{}\quad 
+ \frac{1}{120}([[[[Y,X],Y],X],Y] +[[[[X,Y],X],Y],X]) 
+ \cdots
\end{align}

Referenzen[Bearbeiten]

  • H. Baker: Proc Lond Math Soc (1) 34 (1902) 347–360; ibid (1) 35 (1903) 333–374; ibid (Ser 2) 3 (1905) 24–47.
  • J. Campbell: Proc Lond Math Soc 28 (1897) 381–390; ibid 29 (1898) 14–32.
  • L. Corwin & F.P Greenleaf: Representation of nilpotent Lie groups and their applications, Part 1: Basic theory and examples, Cambridge University Press, New York, 1990, ISBN 0-521-36034-X.
  • E. B. Dynkin: Calculation of the coefficients in the Campbell-Hausdorff formula, Doklady Akad Nauk USSR, 57 (1947) 323–326.
  • Brian C. Hall: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9.
  • F. Hausdorff: Berl Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19–48.
  • W. Magnus: Comm Pur Appl Math VII (1954) 649–673.
  • W. Miller: Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York, 1972, S. 159–161. ISBN 0-124-97460-0.
  • H. Poincaré: Compt Rend Acad Sci Paris 128 (1899) 1065–1069; Camb Philos Trans 18 (1899) 220–255.
  • M.W. Reinsch: A simple expression for the terms in the Baker–Campbell–Hausdorff series. Jou Math Phys, 41(4):2434–2442, (2000). doi:10.1063/1.533250 (arXiv preprint)
  • W. Rossmann: Lie Groups: An Introduction through Linear Groups. Oxford University Press, 2002.
  • A.A. Sagle & R.E. Walde: Introduction to Lie Groups and Lie Algebras, Academic Press, New York, 1973. ISBN 0-12-614550-4.
  • J.-P. Serre: Lie algebras and Lie groups , Benjamin, 1965.
  • H. Kleinert: Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2006) (auch lesbar hier).

Weblinks[Bearbeiten]