Banach-Mazur-Abstand

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Der Banach-Mazur-Abstand, benannt nach Stefan Banach und Stanisław Mazur, ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachräume. Er definiert einen Abstand zwischen zwei isomorphen normierten Räumen und wird besonders für endlichdimensionale Räume verwendet.

Motivation und Definition[Bearbeiten]

Sind (E,\|\cdot\|_E) und (F,\|\cdot\|_F) zwei isomorphe normierte Räume, so gibt es eine bijektive, stetige, lineare Abbildung T:E\rightarrow F, deren Umkehrung ebenfalls beschränkt ist. Für die Operatornorm gilt 1 = \|{\mathrm id}_E\| = \|T^{-1}\circ T\| \le \|T^{-1}\|\cdot \|T\|. Daher ist

\delta(E,F) := \inf \{\|T^{-1}\|\cdot \|T\|;\,  T:E\rightarrow F\,\, \text{Isomorphismus}\}

eine Zahl \ge 1, die misst, wie weit die Räume (E,\|\cdot\|_E) und (F,\|\cdot\|_F) davon entfernt sind, isometrisch isomorph zu sein. Diese Zahl nennt man den Banach-Mazur-Abstand zwischen (E,\|\cdot\|_E) und (F,\|\cdot\|_F). Sind E und F nicht isomorph, so ist \delta(E,F)=\infty.

Es gelten folgende einfache Regeln:

  1. \delta(E,E)\,=\,1; allgemeiner \delta(E,F)\,=\,1, falls E und F isometrisch isomorph sind,
  2. \delta(E,F)\,=\,\delta(F,E) für normierte Räume E und F,
  3. \delta(E,F)\le\delta(E,G)\cdot \delta(G,F) für normierte Räume E, F und G.

Daraus ergibt sich, dass sich \log\circ \delta(\cdot,\cdot) wie eine Metrik verhält, wobei log irgendeine Logarithmusfunktion ist, zum Beispiel der natürliche Logarithmus. Das erklärt den Namen Banach-Mazur-Abstand.

Bemerkungen[Bearbeiten]

Der Banach-Mazur-Abstand \delta(E,F) hängt vom zu Grunde liegenden Grundkörper, \R oder \C, ab. Es gibt ein auf Jean Bourgain zurückgehendes Beispiel eines reellen Banachraums mit zwei komplexen Banachraum-Strukturen, die nicht isomorph sind.

Aus \delta(E,F)\,=\,1 folgt im Allgemeinen nicht, dass E und F isometrisch isomorph sind. Für das folgende auf Aleksander Pelczynski und Czesław Bessaga zurückgehende Beispiel seien für i\in\{0,1\} folgende Normen auf c0 definiert:

\|x\|_i := \sup_{j\in \N}|x(j)| + (\sum_{j=1}^\infty 2^{-2j}|x(j+i)|^2)^{\frac{1}{2}}

Setzt man E_i := (c_0,\|\cdot\|_i), so kann man zeigen, dass E_0 strikt konvex ist, E_1 aber nicht; daher können E_0 und E_1 nicht isometrisch isomorph sein. Setzt man

T_n: E_0\rightarrow E_1:\quad (x(1),x(2),\ldots) \mapsto (x(n),x(1),\ldots,x(n-1),x(n+1),\ldots) ,

so ist T_n:E_0\rightarrow E_1 ein Isomorphismus und es ist \lim_{n\to\infty} \|T_n^{-1}\|\|T_n\| = 1, also gilt \delta(E_0,E_1)=1.

Dieses Beispiel muss notwendigerweise unendlichdimensional sein, denn für zwei endlichdimensionale Räume E und F kann man zeigen, dass \delta(E,F)=1 genau dann gilt, wenn E und F isometrisch isomorph sind.

Minkowski-Kompaktum[Bearbeiten]

Es sei {\mathcal Q}_n die Klasse aller n-dimensionalen Banachräume. Die isometrische Isomorphie ist eine mit \sim bezeichnete Äquivalenzrelation auf {\mathcal Q}_n. Man kann zeigen, dass der Banach-Mazur-Abstand eine Abbildung auf der Menge Q_n := {\mathcal Q}_n/\sim induziert und dass (Q_n, \log \circ \delta) ein kompakter metrischer Raum ist, das sogenannte Minkowski-Kompaktum (nach Hermann Minkowski) oder auch Banach-Mazur-Kompaktum. Auch wenn \delta keine Metrik ist, sondern nur der Logarithmus von \delta, so werden metrische Begriffe im Zusammenhang mit dem Minkowski-Kompaktum häufig bezüglich \delta verwendet, das gilt insbesondere für die in diesem Absatz verwendeten Begriffe Abstand und Durchmesser.

Es bezeichne \ell_p^n den \R^n mit der p-Norm. Dann zeigt man leicht \delta(E,\ell_1^n) \le n für alle E\in {\mathcal Q}_n: Nach dem Auerbach-Lemma existiert eine Auerbachbasis (e_i,e_i')_i von E. Für T:\ell_1^n\rightarrow E,\, T((t_i)_i):=\sum_{i=1}^nt_ie_i gilt dann T^{-1}x\,=\,(e_i'(x))_i und daher \|T\|=1 und \|T^{-1}\|\le n, woraus \delta(E,\ell_1^n) \le n folgt.

Aufwändiger ist die 1948 von Fritz John gezeigte Ungleichung \delta(E,\ell_2^n) \le \sqrt{n} für alle E\in {\mathcal Q}_n. Daraus folgt sofort

\delta(E,F) \le \delta(E,\ell_2^n)\cdot \delta(\ell_2^n, F) \le \sqrt{n}^2 = n für alle E,F\in {\mathcal Q}_n.

Daher ist der Durchmesser des Minkowski-Kompaktums \le n. E. D. Gluskin konnte zeigen, dass der Durchmesser nach unten durch eine Konstante mal n abgeschätzt werden kann. Es sind noch einige konkrete Abstände bekannt, so zum Beispiel

\delta(\ell_p^n,\ell_q^n) = n^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}} falls 1\le p\le q \le 2 oder 2\le p\le q \le \infty.

Für den Fall 1\le p < 2 < q\le \infty kennt man folgende Abschätzung:

\frac{1}{\sqrt{2}}\max\{n^{\frac{1}{p}-\frac{1}{2}}, n^{\frac{1}{2}-\frac{1}{q}} \} \le \delta(\ell_p^n,\ell_q^n) \le \frac{1}{\sqrt{2}-1}\max\{n^{\frac{1}{p}-\frac{1}{2}}, n^{\frac{1}{2}-\frac{1}{q}} \} .

Quellen[Bearbeiten]