Barwert

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Der Barwert (z. T. Gegenwartswert, aus dem Englischen: present value) ist ein Begriff aus der Finanzmathematik. Der Barwert ist der Wert, den zukünftige Zahlungen in der Gegenwart besitzen. Er wird durch Abzinsung der zukünftigen Zahlungen und anschließendes Summieren ermittelt. Daneben gibt es noch den Begriff des versicherungsmathematischen Barwerts, welcher eine Verallgemeinerung des finanzmathematischen Barwerts darstellt.

Barwert einer einzigen Zahlung[Bearbeiten]

Im einfachsten Fall ist der Barwert einer einzigen Zahlung zu ermitteln. Dazu müssen folgende Daten gegeben sein:

  • die Höhe der zukünftigen Zahlung C,
  • die Zeit T, zu der die Zahlung C fließt, gerechnet ab heute (normalerweise in Jahren),
  • der Zinssatz z, mit dem die Zahlung abgezinst wird

Der Barwert PV ist dann

PV = C \cdot DF(z,T),

wobei die genaue Form des Diskontierungsfaktors DF(z,T) von der gewählten Zinskonvention abhängt. Für den einfachen Fall, dass T eine ganze Zahl von Jahren bezeichnet, lautet der Barwert

PV = \frac{C}{(1 + z)^T}

und somit

 DF(z,T) = \frac{1}{(1 + z)^T}

Barwert einer Anleihe[Bearbeiten]

Eine häufige Anwendung der Barwertformel ist, unter Verwendung der Rendite für eine festverzinsliche Anleihe den Preis zu berechnen. Hat die Anleihe mit einem Nominalwert (Rückzahlungsbetrag) N eine Laufzeit von T ganzen Jahren und zahlt sie jährlich einen Kupon von c, so berechnet sich der Barwert aus der Summe der Barwerte der Zinszahlungen und der Rückzahlung:

PV = \frac{c}{(1 + z)} + \frac{c}{(1 + z)^2} + \dots + \frac{c}{(1 + z)^T} + \frac{N}{(1 + z)^T}

Beträgt die Zeit bis zur ersten Kuponzahlung weniger als ein Jahr, enthält der Barwert zeitanteilige Stückzinsen für den ersten Kupon und wird als „dirty price“ bezeichnet. Zieht man vom „dirty price“ die zeitanteilig abgegrenzten Stückzinsen ab, erhält man den sogenannten „clean price“.

Barwert einer Annuität[Bearbeiten]

Als Annuität (oder Rente) bezeichnet man in der Finanzmathematik eine gleich bleibende regelmäßige Zahlung. Wird diese Zahlung nicht auf einen Zeitraum beschränkt, sondern fließt unbegrenzt lange zu, spricht man von einer ewigen Rente (auch perpetuity).

Der Barwert des Betrages C, der einmal im Jahr auf unbeschränkte Dauer zufließt (z = Zinsfuß : 100, z. B. 5 : 100 = 0,05), ist:

PV_\text{ewig} = \frac{C}{z}

Für die ewige Rente gilt also der sehr einfache Zusammenhang, dass der Barwert um einen Faktor gleich dem Kehrwert des Zinssatzes größer als die Zahlung ist. Man kann die ewige Rente als regelmäßigen Zins auf eine Kapitalanlage in Höhe des Barwertes betrachten. Eine ewige Rente hat (bei positivem Zins) einen endlichen Barwert, obwohl die Gesamtsumme aller Zahlungen unendlich ist.

Fließt die (nachschüssige) Rente nur N Jahre, so ist der Barwert:

PV = PV_\text{ewig}\cdot\left( 1- \frac{1}{\big(1 + z\big)^{N}} \right)  = \frac{C}{z} - C \frac{1}{z \big(1 + z\big)^{N}} = C \cdot \left( \frac{1}{z} - \frac{1}{z \big(1 + z\big)^{N}}\right)

Je größer N und je größer z werden, desto mehr nähert sich das Ergebnis dem einer ewigen Rente an. Der Faktor zwischen Zahlung und Barwert heißt Rentenbarwertfaktor (=PV/C), sein Kehrwert heißt Annuitätenbarwertfaktor (=C/PV).

Beispiele: Bei einem Zinssatz von beispielsweise 5 % ist der Barwert der ewigen Rente 20-mal so groß wie die jährliche Zahlung, der Rentenbarwertfaktor ist 20, der Barwert einer 30 Jahre laufenden Rente das 15,4fache der jährlichen Zahlung, der Rentenbarwertfaktor ist 15,4, der Barwert einer einjährigen Rente ist 1/1,05 Mal so hoch wie die Ausschüttung, der Rentenbarwertfaktor ist 1/1,05, was etwas größer als 0,95 ist.

Versicherungsmathematischer Barwert[Bearbeiten]

Der versicherungsmathematische Barwert ist eine Verallgemeinerung des finanzmathematischen Barwerts. Wo letzterer den Wert, den zukünftig anfallende Zahlungen in der Gegenwart besitzen, (nur) unter Berücksichtigung der Abzinsung darstellt, fließen beim versicherungsmathematischen Barwert auch noch statistische bzw. stochastische Größen wie Sterbewahrscheinlichkeiten und ähnliches ein.

Der versicherungsmathematische Barwert einer Leibrente zum Beispiel ist die Summe aller möglichen zukünftigen Rentenzahlungen (einschließlich möglicher Hinterbliebenenrentenzahlungen nach dem Tode des Rentenempfängers), jeweils mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens gewichtet und auf den Berechnungszeitpunkt abgezinst.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Barwert – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen