Basiswechsel (Vektorraum)

Der Basiswechsel oder die Basistransformation ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit den Übergang zwischen zwei verschiedenen Basen eines endlichdimensionalen Vektorraums über einem Körper $K$. Dadurch ändern sich im Allgemeinen die Koordinaten der Vektoren und die Abbildungsmatrizen von linearen Abbildungen. Ein Basiswechsel ist somit ein Spezialfall einer Koordinatentransformation.

Der Basiswechsel kann durch eine Matrix beschrieben werden, die Basiswechselmatrix, Transformationsmatrix oder Übergangsmatrix genannt wird. Mit dieser lassen sich auch die Koordinaten bezüglich der neuen Basis ausrechnen. Stellt man die Basisvektoren der alten Basis als Linearkombinationen der Vektoren der neuen Basis dar, so bilden die Koeffizienten dieser Linearkombinationen die Einträge der Basiswechselmatrix.

Basiswechselmatrix

Kommutatives Diagramm

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum über dem Körper $K$ (zum Beispiel dem Körper $\R$ der reellen Zahlen). In $V$ seien zwei geordnete Basen gegeben, $B = \{ b_1 \ldots b_n \}$ und $B' = \{ b_1' \ldots b_n' \}$ mit Basisvektoren $b_1, \dots, b_n \in V$ bzw. $b_1{}', \dots, b_n{}' \in V$. Die Basiswechselmatrix $T_{B'}^B$ für den Basiswechsel von $B$ nach $B'$ ist eine $n \times n$-Matrix. Es handelt sich um die Abbildungsmatrix der Identitätsabbildung auf $V$ bezüglich der Basen $B$ im Urbild und $B'$ im Bild:

$T _{B'}^B = M_{B'}^{B}(\operatorname{id_V})$

Man erhält sie, indem man die Vektoren der alten Basis $B$ als Linearkombinationen der Vektoren der neuen Basis $B{}'$ darstellt:

$b_j = a_{1j} b_1{}' + a_{2j} b_2{}' + \dots + a_{nj} b_n{}' = \sum_{i = 1}^n a_{ij} b_i{}', \qquad j = 1, \dots, n$

Die Koeffizienten $a_{1j}, \dots, a_{nj}$ bilden die $j$-te Spalte der Basiswechselmatrix

$T _{B'}^B = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$

Diese Matrix ist quadratisch und invertierbar und somit ein Element der allgemeinen linearen Gruppe $Gl\left(n,K\right)$. Ihre Inverse $( T_{B'}^{B} )^{-1} = T_B^{B'}$ beschreibt den Basiswechsel von $B'$ zurück nach $B$.

Koordinatentransformation

Ein Vektor $v \in V$ habe bezüglich der Basis $B = (b_1, \dots, b_n)$ die Koordinaten $x_1, \dots, x_n$, d. h.

$v = x_1 b_1 + x_2 b_2+ \dots + x_n b_n = \sum_i x_i \, b_i,$

und bezüglich der neuen Basis $B' = (b_1', \dots, b_n')$ die Koordinaten $x_1', \dots, x_n'$, also

$v = x_1{}' b_1{}' + x_2{}' b_2{}'+ \dots + x_n{}' b_n{}' =\sum_j x_j{}' \,b_j{}'.$

Stellt man wie oben die Vektoren $b_j$ der alten Basis als Linearkombination der neuen Basis dar, so erhält man

$v = \sum_j x_j b_j = \sum_j x_j \sum_i a_{ij} \,b_i{}' = \sum_i \left(\sum_j a_{ij} \, x_j\right) b_i{}'$

Dabei sind die $a_{ij}$ die oben definierten Einträge der Basiswechselmatrix $T_{B'}^B$. Durch Koeffizientenvergleich erhält man

$x_i{}' = \sum_{j=1}^n a_{ij} \, x_j,$

bzw. in Matrizenschreibweise:

$\begin{pmatrix} x_1{}' \\ \vdots \\x_n{}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots& \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\x_n \end{pmatrix}$

oder kurz:

$x{}' = T_{B'}^B \,x$

Basiswechsel bei Abbildungsmatrizen

Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung hängt von der Wahl der Basen im Urbild- und im Zielraum ab. Wählt man andere Basen, so erhält man auch andere Abbildungsmatrizen.

Kommutatives Diagramm der beteiligten Abbildungen. Mit $A$ wird hier die lineare Abbildung von $K^n$ nach $V$ bezeichnet, die $(x_1, \dots, x_n)$ auf $x_1 a_1 + \dots + x_n a_n$ abbildet, etc.

Seien $V$ ein $n$-dimensionaler und $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum über $K$ und $f \colon V \to W$ eine lineare Abbildung. In $V$ seien die geordneten Basen $A = (a_1, \dots, a_n)$ und $A' = (a_1{}', \dots, a_n{}')$ gegeben, in $W$ die geordneten Basen $B = (b_1, \dots, b_m)$ und $B' = (b_1{}', \dots, b_m{}')$. Dann gilt für die Darstellungsmatrizen von $f$ bezüglich $A$ und $B$ bzw. bezüglich $A'$ und $B'$:

$M_{B'}^{A'}(f)=T_{B'}^B\cdot M_B^A(f)\cdot T_A^{A'}$

Man erhält diese Darstellung, indem man

$f = \operatorname{id}_W \circ f \circ \operatorname{id}_V$

schreibt. Die Abbildungsmatrix der Verkettung ist dann das Matrizenprodukt der einzelnen Abbildungsmatrizen, wenn die Basen passend gewählt sind, das heißt: die Basis $A'$ im Urbild von $\operatorname{id}_V$, die Basis $A$ im Bild von $\operatorname{id}_V$ und im Urbild von $f$, die Basis $B$ im Bild von $f$ und im Urbild von $\operatorname{id}_W$, und die Basis $B'$ im Bild von $\operatorname{id}_W$. Man erhält also:

$M_{B'}^{A'}(f) = M_{B'}^B(\operatorname{id}_W) \cdot M_B^A(f) \cdot M_A^{A'}(\operatorname{id}_V)$

Ein wichtiger Spezialfall ist, wenn $f \colon V \to V$ ein Endomorphismus ist und im Urbild und Bild jeweils dieselbe Basis $B$ bzw. $B'$ benutzt wird. Dann gilt:

$M_{B'}^{B'}(f)=T_{B'}^B\cdot M_B^B(f)\cdot T_B^{B'}$

Setzt man $T = T_{B'}^B$, so gilt also

$M_{B'}^{B'}(f) = T \cdot M_B^B(f) \cdot T^{-1}.$

Die Abbildungsmatrizen $M_{B'}^{B'}(f)$ und $M_B^B(f)$ sind also ähnlich.

Beispiel

Wir betrachten zwei Basen $B$ und $C$ des $\mathbb{R}^3$:

$B = \left\{ b_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} , b_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , b_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$

$C = \left\{ c_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , c_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , c_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$

wobei die Koordinatendarstellung der Vektoren die Vektoren bezüglich der Standardbasis beschreibt.

Die Abbildung eines Vektors

$v = \beta_{1} b_1 + \beta_{2} b_2 + \beta_{3} b_3 = \gamma_{1} c_1 + \gamma_{2} c_2 + \gamma_{3} c_3$

ergibt sich durch die Darstellung der alten Basisvektoren $(b_1, b_2, b_3)$ bezüglich der neuen Basis $(c_1, c_2, c_3)$ und deren Gewichtung mit $(\beta_1, \beta_2, \beta_3)$.

Um die Matrix der Basistransformation $T_{C}^B$ von $B$ nach $C$ zu berechnen, müssen wir die drei linearen Gleichungssysteme

$b_i = T_{1i} c_1 + T_{2i} c_2 + T_{3i} c_3$

nach den 9 Unbekannten $T_{ji}$ auflösen.

Dies kann mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus für alle 3 Gleichungssysteme simultan erfolgen. Dazu wird folgendes LGS aufgestellt:

$\left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 0 & 1 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Durch Umformen mit elementaren Zeilenoperationen lässt sich die linke Seite auf die Einheitsmatrix bringen und auf der rechten Seite erhält man die Matrix

$\begin{pmatrix} \frac{3}{2} & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 2 & 1 \end{pmatrix}$.

Wir betrachten einen Vektor $v$, der bezüglich der Standardbasis die Koordinatendarstellung $(5,2,7)$ besitzt. Bezüglich $B$ ist

$v = 2b_1 - b_2 + 3b_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}_B$.

Das Subskript bezeichne die zur Koordinatendarstellung gehörige Basis. Um nun die Koordinatendarstellung bezüglich $C$ zu berechnen, müssen wir die Transformationsmatrix auf diesen Spaltenvektor anwenden:

$\begin{pmatrix} \frac{3}{2} & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}_B = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}_C$.

Also ist

$v = 5c_1 + 2c_2 + 0c_3 = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}_C$.

Anwendungen

Basiswechselmatrizen besitzen vielfältige Anwendungsmöglichkeiten in der Mathematik und Physik.

In der Mathematik

Eine Anwendung von Basiswechselmatrizen in der Mathematik ist die Veränderung der Gestalt der Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung um die Rechnung zu vereinfachen.

Betrachtet man beispielsweise eine beliebige diagonalisierbare $n \times n$-Matrix $A$. Möchte man nun $A^p \left(p \geq 1\right)$ berechnen, so benötigt die direkte Berechnung $\mathcal O \left( n^3\log p \right)$ Körpermultiplikationen. Da $A$ diagonalisierbar ist existieren eine Diagonalmatrix $D$ und eine Basiswechselmatrix $T \in Gl\left(n,K\right)$ sodass

$A = T \cdot D \cdot T^{-1} \Rightarrow A^p = \left( T \cdot D \cdot T^{-1} \right)^p = T \cdot D^p \cdot T^{-1}$

Die Berechnung der rechten Seite benötigt hingegen nur $\mathcal O \left( n^3+n\log p \right)$ Körpermultiplikationen.

In der Physik

Eine Anwendung von Basiswechselmatrizen in der Physik findet bspw. in der Ähnlichkeitstheorie statt, um dimensionslose Kennzahlen zu ermitteln. Hierbei werden durch einen Basiswechsel einer physikalischen Größe neue Basisdimensionen zugeordnet. Die dimensionslosen Kennzahlen stellen dann genau das Verhältnis der physikalischen Größe zu seiner Dimensionsvorschrift dar.

Literatur

•  Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 13 Auflage. Vieweg, 2002, ISBN 3-528-97217-3. 

Weblink

• Seite mit ausführlichen Beispielen