Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit (auch konditionale Wahrscheinlichkeit) ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses $A$ unter der Bedingung (auch Konditionalität), dass das Eintreten eines anderen Ereignisses $B$ bereits bekannt ist. Es wird geschrieben als $P(A\mid B)$, der senkrechte Strich ist als „unter der Bedingung“ zu lesen und wie folgt zu verstehen: Wenn das Ereignis $B$ eingetreten ist, beschränken sich die Möglichkeiten auf die Ergebnisse in $B$. Damit ändert sich auch die Wahrscheinlichkeit; diese neue Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ ist gegeben durch $P(A\mid B)$. Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann also als Neueinschätzung der Wahrscheinlichkeit von $A$ interpretiert werden, wenn die Information vorliegt, dass das Ereignis $B$ bereits eingetreten ist. Manchmal wird auch die Schreibweise $P_B(A)$ verwendet, die jedoch auch andere Bedeutungen haben kann.

Für einen verallgemeinerten, abstrakten Begriff von bedingten Wahrscheinlichkeiten siehe bedingter Erwartungswert.

Motivation und Definition

Mitunter möchte man untersuchen, wie stark der statistische Einfluss einer Größe auf eine andere ist. Beispielsweise möchte man wissen, ob Rauchen ($R$) krebserregend ($K$) ist. Die logische Implikation würde fordern, dass der Schluss $R\Rightarrow K$ für alle Instanzen gilt; das heißt also, dass jeder Raucher Krebs haben wird. Ein einziger Raucher, der keinen Krebs bekommt, würde den Satz „Rauchen ruft mit logischer Sicherheit Krebs hervor.", beziehungsweise „Jeder Raucher bekommt Krebs." ad absurdum führen. Dennoch, obwohl es Raucher ohne Krebs gibt, besteht ein statistischer Zusammenhang zwischen diesen beiden Ereignissen: Dieser Zusammenhang besteht darin, dass die Wahrscheinlichkeit, an Krebs zu erkranken, bei Rauchern erhöht ist. Diese Wahrscheinlichkeit ist die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand Krebs bekommt unter der Bedingung, dass er Raucher ist. Stochastisch kann ebenso die Wahrscheinlichkeit untersucht werden, dass jemand raucht, unter der Bedingung, dass er Krebs hat. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist somit zu beachten, dass der Begriff der Bedingung nicht an einen kausalen oder zeitlichen Zusammenhang gebunden ist. Die bedingte Wahrscheinlichkeit gibt ein Maß dafür an, wie stark der statistische Einfluss von $R$ auf $K$ ist. Sie kann als stochastisches Maß dafür angesehen werden, wie wahrscheinlich der Schluss $R\Rightarrow K$ ist. Sie sagt aber, wie alle statistischen Größen, nichts über die etwaige Kausalität des Zusammenhangs aus.

Mit dieser Motivation kommt man zu folgender Definition: Wenn $A$ und $B$ beliebige Ereignisse sind und $P(B)>0$ ist, dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, vorausgesetzt B (auch die Wahrscheinlichkeit von A, unter der Bedingung B), notiert wie $P(A\mid B)$ (mit senkrechtem Strich zwischen A und B ), definiert durch:

$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$

Darin ist $P(A \cap B)$ die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ und $B$ gemeinsam auftreten. $P(A \cap B)$ wird gemeinsame Wahrscheinlichkeit, Verbundwahrscheinlichkeit oder Schnittwahrscheinlichkeit genannt. $A \cap B$ bezeichnet dabei den mengentheoretischen Schnitt der Ereignisse $A$ und $B$.

Multiplikationssatz

Durch Umformen der Definitionsformel entsteht der Multiplikationssatz für zwei Ereignisse:

$P(A\cap B) = P(A\mid B) P(B).$

Verallgemeinerung

Verallgemeinert man den obigen Ausdruck des Multiplikationssatzes, der für zwei Ereignisse gilt, erhält man den allgemeinen Multiplikationssatz. Man betrachte dazu den Fall mit $n$ Zufallsereignissen $A_1, A_2,\dots, A_n$.

$P\left(A_1\cap A_2\cap\dots\cap A_n\right)=$

$=P\left(A_1\right)\cdot\frac{P\left(A_1\cap A_2\right)}{P\left(A_1\right)} \cdot\frac{P\left(A_1\cap A_2\cap A_3\right)}{P\left(A_1\cap A_2\right)} \cdot\ldots\cdot\frac{P\left(A_1\cap\dots\cap A_n\right)}{P\left(A_1\cap\dots\cap A_{n-1}\right)}$

$= P(A_1)\cdot P\left(A_2\mid A_1\right)\cdot P\left(A_3\mid A_1\cap A_2\right)\cdot\ldots\cdot P\left(A_n\mid A_1\cap\dots\cap A_{n-1}\right)$

Besonders anschaulich ist hier das Rechnen mit einem Entscheidungsbaum, da hier das Diagramm gleichsam „mitrechnet“: Die Daten sind leicht einzusetzen und führen sequenziell an den richtigen Rechengang heran.

Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit

Sind nur bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Wahrscheinlichkeiten des bedingenden Ereignisses bekannt, ergibt sich die totale Wahrscheinlichkeit von $A$ aus:

$P(A) = P\left(A\mid B\right)\cdot P(B)+P\left(A\mid\overline B\right)\cdot P\left(\overline B\right),$

wobei $\overline{B}$ das Gegenereignis zu $B$ bezeichnet.

Auch hier gibt es eine Verallgemeinerung. Gegeben seien die Ereignisse $B_1, B_2, \ldots$ mit $P(B_j) > 0$ für alle $j$, die eine Partition des Wahrscheinlichkeitsraums $\Omega$ bilden, dann gilt:

$\,\!P(A) = \sum_j P\left(A\mid B_j\right)\cdot P\left(B_j\right).$

Stochastische Unabhängigkeit

Wenn $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, gilt:

$P(A\cap B) = P(A) P(B),$

was dann führt zu:

$P(A\mid B) = \frac{P(A)P(B)}{P(B)} = P(A).$

Satz von Bayes

Für den Zusammenhang zwischen $P(A \mid B)$ und $P(B \mid A)$ ergibt sich direkt aus der Definition und dem Multiplikationssatz der Satz von Bayes:

$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}\,.$

Dabei kann $P(B)$ im Nenner mit Hilfe des Gesetzes der totalen Wahrscheinlichkeit berechnet werden.

Stetige Zufallsvariable

Für zwei Zufallsvariablen $X$, $Y$ mit gemeinsamer Dichte $f_{X,Y}$ ist eine Dichte $f_Y$ von $Y$ gegeben durch

$f_Y(y)=\int f_{X,Y}(x,y)\,dx$.

Falls $f_Y(y)>0$, kann man eine bedingte Dichte $f_X(\,\cdot\,|Y=y)$ von $X$, gegeben (oder vorausgesetzt) das Ereignis $\{Y=y\}$, definieren durch

$f_X(x|Y=y) \,=\, \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}$.

Statt $f_X(x|Y=y)$ schreibt man auch $f_{X|Y}(x,y)$, für die bedingte Dichte. Die letztere Formel soll aber nicht verstanden werden wie die Dichte einer Zufallsvariable $X|Y$.

Die (eine) simultane Dichte von $X$ und $Y$ erhält man dann aus der Formel

$\,\!f_{X,Y}(x,y)=f_Y(y)f_X(x|Y=y).$

Daraus lässt sich eine Form des Gesetzes der totalen Wahrscheinlichkeit herleiten:

$f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y)\,dy=\int f_Y(y)f_X(x|Y=y)\,dy.$

Dieser Vorgang wird als Marginalisierung bezeichnet.

Hierbei ist zu beachten, dass standardmäßig Dichten, die die gleichen Integralwerte liefern, dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung repräsentieren. Dichten sind daher nicht eindeutig festgelegt. Eine zulässige Wahl für $f_{X,Y}$, $f_X$, und $f_Y$ ist jede messbare Funktion, die im Integral die korrekten Wahrscheinlichkeiten für $P(X\in A, Y\in B)$, $P(X\in A)$ bzw. $P(Y\in B)$ für beliebige $A$, $B$ ergibt. Die Funktion $f_X(\cdot |Y=\cdot)$ muss

$P(X\in A, Y\in B) = \int_B f_Y(y) \int_A f_X(x|Y=y)\,dx\,dy$

erfüllen. Die oben angegebenen Formeln gelten somit nur bei passender Wahl der verschiedenen Dichten.

Beispiele

Würfelwurf

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A = \{4,5,6\}$ mit einem fairen Würfel mindestens eine Vier (d.h. 4 oder größer) zu werfen ist $P(A) = \tfrac{1}{2}$. Wenn nun bekannt ist, dass das Wurfergebnis eine gerade Zahl ist, also in der Menge $B = \{2,4,6\}$ liegt, dann ergibt sich die bedingte Wahrscheinlichkeit für $A$ unter der Bedingung $B$ wegen $A \cap B = \{4,6\}$ zu

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}\,.$

Wurfmaschine

Bedingte Wahrscheinlichkeit als Teilflächen

Ein anschauliches Beispiel erlaubt es, bedingte Wahrscheinlichkeiten anhand von Mengendiagrammen unmittelbar zu verstehen. Betrachtet wird eine Wurfmaschine, die in zufälliger Weise irgendwelche Objekte (z. B. Bälle, Dartpfeile) auf eine bestimmte Fläche M (z. B. eine Wand) wirft, so dass jeder Ort der Wand mit gleicher Wahrscheinlichkeit getroffen wird. Die Funktion F ordne der Fläche M bzw. einer bestimmten Teilfläche A der Wand (z. B. einem beliebigen mit einem Stift markierten Kreis) ihren Flächeninhalt F(M) bzw. F(A) zu. Dann ist die Wahrscheinlichkeit P(A), dass das Wurfgeschoss in A auftrifft, proportional dem Verhältnis der Teilfläche zur Gesamtfläche, also P(A)=F(A)/F(M).

Nun sei zusätzlich vorausgesetzt, dass das Wurfgeschoss innerhalb einer anderen Teilfläche B aufgetroffen ist, die mit der Teilfläche A überlappt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit P(B), dass das Wurfgeschoss in B auftrifft, P(B)=F(B)/F(M). Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B), dass das Geschoss unter der zusätzlichen Voraussetzung auch gleichzeitig innerhalb der überlappenden Teilfläche A auftrifft, ist proportional dem Flächeninhalt desjenigen Teils der Fläche A, der auch in B liegt, also dem Flächeninhalt F(A∩B) der Schnittmenge A∩B. Umgekehrt ist für eine gleich groß ausfallende Schnittmenge A∩B umso weniger wahrscheinlich, dass ein in B auftreffendes Wurfgeschoss auch in A∩B auftrifft, je größer F(B) vorausgesetzt war. Also ist P(A|B) umgekehrt proportional zu P(B).

Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit eines Auftreffens in A bei zusätzlich vorausgesetztem Auftreffen in B als bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B)=F(A∩B)/F(B)=P(A∩B)/P(B), also definitionsgemäß.

Weitere Beispiele

• Beispielsweise ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(„die Erde ist nass"|„es regnet“) (die Erde ist nass, wenn es regnet) meist groß, denn unter der Voraussetzung, dass es zu einem Zeitpunkt regnet, sollte man erwarten, dass die Erde nass wird. Bedingte Wahrscheinlichkeit fragt also nach, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, wenn ich ein anderes bereits kenne. In unserem Beispiel weiß ich, dass es regnet, und frage mich, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Erde nass ist. Offensichtlich unterscheidet sich die bedingte Wahrscheinlichkeit von der unbedingten.

• Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der französisch spricht, ein Franzose ist, ist weder gleich groß der Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der ein Franzose ist, auch französisch spricht, noch ergänzen sich beide Wahrscheinlichkeiten auf 100 %.

• People v. Collins (1968): In diesem Strafprozess in Kalifornien wurde ein vermeintlicher männlicher Bankräuber unter anderem deswegen verurteilt, weil der Täter gemäß Zeugenaussagen einen Bart und einen Schnurrbart trug. Wer einen Bart trägt, hat sehr oft auch einen Schnurrbart – das Gericht ging in seinem Fehlurteil aber nicht von bedingten Wahrscheinlichkeiten aus.

• Auslosungen im Sport: Im Jahr 2013 sind zwei deutsche und zwei spanische Mannschaften im Halbfinale der Champions-League. Die Wahrscheinlichkeit, dass je ein komplett deutsches und ein spanisches Halbfinale gespielt, wird beträgt dabei ein Drittel, nicht etwa fünfzig Prozent. Es ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zweiter deutscher (spanischer) Verein gezogen wird, unter der Bedingung, dass schon ein erster deutscher (spanischer) Verein aus dem Lostopf gezogen wurde. Wenn der erste deutsche Verein gezogen wurde, ist nur noch eine von drei Mannschaften ebenfalls deutsch. Daher ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 1/3.

Siehe auch

• Ziegenproblem
• Gefangenenparadoxon
• Junge-oder-Mädchen-Problem

Weblinks

 Wikibooks: Bedingte Wahrscheinlichkeiten – Lern- und Lehrmaterialien

 Wikibooks: Bedingte Wahrscheinlichkeit (Variante für Schüler) – Lern- und Lehrmaterialien

• Bedingte Wahrscheinlichkeit Verständlich für Schüler und Lehrer