Bernoulli-Verteilung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Bernoulli-Experiment)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Bernoulli-Verteilung für p=0.2 (blau), p=0.5 (grün) und p=0.8 (rot)

Zufallsgrößen mit einer Null-Eins-Verteilung bzw. Bernoulli-Verteilung benutzt man zur Beschreibung von zufälligen Ereignissen, bei denen es nur zwei mögliche Versuchsausgänge gibt. Einer der Versuchsausgänge wird meistens mit Erfolg bezeichnet und der komplementäre Versuchsausgang mit Misserfolg. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit p für einen Erfolg nennt man Erfolgswahrscheinlichkeit und q=1-p die Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs. Beispiele:

  • Werfen einer Münze: Kopf (Erfolg), p=1/2, und Zahl (Misserfolg), q=1/2.
  • Werfen eines Würfels, wobei nur eine „6“ als Erfolg gewertet wird: p=1/6, q=5/6.
  • Qualitätsprüfung (einwandfrei, nicht einwandfrei).
  • Anlagenprüfung (funktioniert, funktioniert nicht).
  • Betrachte sehr kleines Raum/Zeit-Intervall: Ereignis tritt ein (p\gtrapprox 0), tritt nicht ein (q\lessapprox 1).

Die Bezeichnung Bernoulli-Versuch (Bernoullian trials nach Jakob I. Bernoulli) wurde erstmals 1937 in dem Buch Introduction to Mathematical Probability von James Victor Uspensky[1] verwendet.

Definition[Bearbeiten]

Eine diskrete Zufallsgröße X auf  (\{0,1\}, \mathcal{P}(\{0,1\})) unterliegt der Null-Eins-Verteilung bzw. Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter p, wenn sie die folgenden Einzelwahrscheinlichkeiten besitzt.

\operatorname{P}(X=1)=p und \operatorname{P}(X=0)=q=1-p.

Die Verteilungsfunktion ist dann

 F_X(t)=\begin{cases}
0 & \text{ falls } t <0 \\
1-p & \text{ falls } t \in [0,1) \\
1 & \text{ falls } t \geq 1
\end{cases}

Man schreibt dann  X \sim B(p) oder  X \sim Ber_p .

Eine Wiederholung von vielen identischen Versuchen, bei denen jeder Einzelversuch der Bernoulli-Verteilung genügt, wird Bernoullisches Versuchsschema oder Bernoulli-Prozess genannt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Erwartungswert[Bearbeiten]

Die Bernoulli-Verteilung mit Parameter p hat den Erwartungswert:

\operatorname{E}\left(X\right)=p

Varianz und weitere Streumaße[Bearbeiten]

Die Bernoulli-Verteilung besitzt die Varianz

\operatorname{Var}(X) = p(1-p)= pq, denn: \operatorname{E}\left(X^2\right)-\operatorname{E}(X)^2=p-p^2 = p\cdot(1-p) = pq.

Damit ist die Standardabweichung

 \sigma_X= \sqrt{pq}

und der Variationskoeffizient


\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{q}{p}}

Schiefe[Bearbeiten]

Die Schiefe der Bernoulli-Verteilung ist

 \operatorname{v}(X)=\frac{q-p}{\sqrt{pq}}

Wölbung und Exzess[Bearbeiten]

Der Exzess der Bernoulli-Verteilung ist

 \gamma (X)=\frac{1-6pq}{pq}

und damit ist die Wölbung

 \beta _2 (X)= \frac{p^3+q^3}{pq}

Momente[Bearbeiten]

Alle k-ten Momente  m_k sind gleich und es gilt

 m_k=p

Entropie[Bearbeiten]

Die Entropie der Bernoulli-Verteilung ist

\Eta = -q\log_2(q)-p\log_2(p)

Modus[Bearbeiten]

Der Modus der Bernoulli-Verteilung ist

x_D=\begin{cases}
0 & \text{falls } q > p\\
0; 1 & \text{falls } q=p\\
1 & \text{falls } q < p
\end{cases}.

Median[Bearbeiten]

Der Median der Bernoulli-Verteilung ist

\tilde m_X=\begin{cases}
0 & \text{falls } q > p\\
0.5 & \text{falls } q=p\\
1 & \text{falls } q<p
\end{cases}.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion[Bearbeiten]

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist

 m_X(t) = 1-p + p t

Charakteristische Funktion[Bearbeiten]

Die charakteristische Funktion ist

\varphi_X(t)=pe^{\mathrm{i}t}+1-p.

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion ist

M_X(t) = 1-p+pe^t

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten]

Beziehung zur Binomialverteilung[Bearbeiten]

Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung für n=1. Mit anderen Worten, die Summe von unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen mit identischem Parameter p genügt der Binomialverteilung, demnach ist die Bernoulli-Verteilung nicht reproduktiv. Die Binomialverteilung ist die n-fache Faltung der Bernoulli-Verteilung bei gleichem Parameter p bzw. mit gleicher Wahrscheinlichkeit p.

Beziehung zur verallgemeinerten Binomialverteilung[Bearbeiten]

Die Summe von  n voneinander unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen, die alle einen unterschiedlichen Parameter  p_i besitzen, ist verallgemeinert binomialverteilt.

Beziehung zur Poisson-Verteilung[Bearbeiten]

Die Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen genügt für n\to\infty, p_{n}\to 0 und \lim\limits_{n\to\infty}np_{n}=\lambda>0 einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter \lambda. Dies folgt direkt daraus, dass die Summe binomialverteilt ist und für die Binomialverteilung die Poisson-Approximation gilt.

Beziehung zur Zweipunktverteilung[Bearbeiten]

Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Zweipunktverteilung mit  a=0 , b=1 . Umgekehrt ist die Zweipunktverteilung eine Verallgemeinerung der Bernoulli-Verteilung auf beliebige zweielementige Punktmengen.

Beziehung zur geometrischen Verteilung[Bearbeiten]

Bei Hintereinanderausführung von Bernoulli-verteilten Experimenten ist die Wartezeit auf den ersten Erfolg (oder letzten Misserfolg, je nach Definition) geometrisch Verteilt

Beziehung zur diskreten Gleichverteilung[Bearbeiten]

Die Bernoulli-Verteilung mit  p=q=\frac{1}{2} ist eine diskrete Gleichverteilung auf  \{0,1\}

Urnenmodell[Bearbeiten]

Die Bernoulli-Verteilung lässt sich auch aus dem Urnenmodell erzeugen, wenn  p=\frac{p_1}{p_2} \in \mathbb{Q} ist. Dann entspricht dies dem einmaligen Ziehen aus einer Urne mit  p_2 Kugeln, von denen genau  p_1 rot sind und alle anderen eine andere Farbe besitzen. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, ist dann Bernoulli-Verteilt.

Simulation[Bearbeiten]

Bei der Simulation macht man sich zunutze, dass wenn  \mathcal{U} eine stetig gleichverteilte Zufallsvariable auf  [0,1] ist, die Zufallsvariable  Y=\mathbf{1}_{\{\mathcal{U}\geq 1-p\}} Bernoulli-verteilt ist mit Parameter  p . Da fast jeder Computer Standardzufallszahlen erzeugen kann, ist die Simulation wie folgend:

  1. Erzeuge eine Standardzufallszahl  u_i
  2. Ist  u_i \leq 1-p , gib 0 aus, ansonsten gib 1 aus.

Dies entspricht genau der Inversionsmethode. Die einfache Simulierbarkeit von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen kann auch zur Simulation von binomialverteilten Zufallsvariablen genutzt werden.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. James Victor Uspensky: Introduction to Mathematical Probability, McGraw-Hill, New York 1937

Literatur[Bearbeiten]

  • Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik., 4 Auflage, de Gruyter, 2009, ISBN 978-3-110-21526-7.