Bernoulli-Zahl

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Die Bernoulli-Zahlen oder bernoullischen Zahlen, 1, ±1/2, 1/6, 0, -1/30, ... sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: in den Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion. Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Jakob Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingeführt.

Definition[Bearbeiten]

In der mathematischen (Fach)literatur werden die Bernoulli-Zahlen als drei unterschiedliche Folgen definiert, die aber sehr eng zusammenhängen. Da ist einmal die ältere Notation (bis ins 20. Jahrhundert im Wesentlichen genutzt), die hier mit \beta_n bezeichnet wird, und die beiden neueren Formen, die in diesem Artikel mit B_n und B_n^\ast bezeichnet und seit circa Mitte des 20. Jahrhunderts meistens benutzt werden. Eine genauere Verbreitung oder der (historische) Übergang der Konventionen lässt sich schwer objektiveren, da dies stark vom jeweiligen Mathematiker (und dem Verbreitungsgebiet seiner Schriften) abhing bzw. abhängt. Eine (heutzutage) gängige implizite Definition der Bernoulli-Zahlen ist, sie über die Koeffizienten folgender Taylorreihen

entweder als


 \frac{x}{e^x-1} = \sum_{k=0}^\infty B_k \frac{x^k}{k!}

oder


 \frac{x}{1-e^{-x}} = \sum_{k=0}^\infty B_k^\ast \frac{x^k}{k!}

– und früher als


 \frac{x}{e^x-1} = 1 - \frac{1}{2}x - \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \beta_k \frac{x^{2k}}{(2k)!}

einzuführen. (Diese Reihenentwicklungen konvergieren für alle x mit |x| < 2\pi.) Hier erkennt man (man ersetze x durch -x), dass B_k = (-1)^k B_k^\ast gilt und diese beiden Definitionen sich lediglich im Index 1 unterscheiden, da alle anderen B_k mit ungeradem Index null sind. Zur sicheren Unterscheidung (wenn man beide neueren Notationen benutzt) seien sie als die der ersten Art, mit B_1= -1/2, und die der zweiten Art, mit B_1^\ast = 1/2 bezeichnet.

Auf der zuletzt aufgeführten Reihe fußt die ältere Definition, indem man stets die Indizes 0 und 1 (bzw. die Terme, wo sie auftreten) separat betrachtet, und dann für die verbleibenden Koeffizienten mit geradem Index, genau diese sind nicht null, eine eigene Definition wählt, so dass diese alle positiv sind. Daher gilt \beta_k = (-1)^{k+1} B_{2k}.

Genau dies hatte auch Jakob Bernoulli bei seiner Erstbestimmung gemacht und so die ältere Notation begründet (er hatte sie allerdings noch nicht durchnummeriert). Er entdeckte diese Zahlen durch die Betrachtung der Polynome, welche die Summe der Potenzen natürlicher Zahlen von 1 bis zu einem gegeben n mit kleinen ganzzahligen Exponenten beschreiben. Z. B.

\begin{array}{lll}
 1 + 2 + \cdots + n &= \frac 1 2 (n+1) n &= \frac1 2 n^2 + \frac 1 2 n \\
 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 &= \frac 1 6 n (n+1) (2n +1) & = \frac 1 3 n^3 + \frac 1 2 n^2 + \frac 1 6 n \\
 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 &= \frac 1 4 n^2 (n+1)^2 &= \frac 1 4 n^4 + \frac 1 2 n^3 + \frac 1 4 n^2,
\end{array}

was letztlich über die Faulhaberschen Formeln auf die Euler-Maclaurin-Formel führt, wo die Bernoulli-Zahlen eine zentrale Rolle spielen. Bewiesen hat er ihre allgemeinen Werte nicht, nur die der kleineren Koeffizienten korrekt errechnet – seine entsprechenden Aufzeichnungen wurden posthum veröffentlicht.

Zahlenwerte[Bearbeiten]

Die ersten Bernoulli-Zahlen B_k, B_k^\ast ≠ 0 lauten

Index Zähler Nenner auf 6 Nach- kommastellen multipliziert mit  \mathbf{\;2^{k+1}\!-\!2} \mathbf{|T_{k-1}|}
0 1 1 1,000000 0
1 ± 1 2 ± 0,500000 ± 1 1
2 1 6 0,166666 1 1
4 −1 30 −0,033333 −1 2
6 1 42 0,023809 3 16
8 −1 30 −0,033333 −17 272
10 5 66 0,075757 155 7936
12 −691 2730 −0,253113 −2073 353792
14 7 6 1,166666 38227 22368256
16 −3617 510 −7,092156 −929569 1903757312
18 43867 798 54,971177 28820619 209865342976
20 −174611 330 −529,124242 −1109652905 29088885112832
22 854513 138 6192,123188 51943281731 4951498053124096
24 −236364091 2730 −86580,253113 −2905151042481 1015423886506852352
\forall\,k\in\N:\quad B_{2k+1} = 0
\forall\,k\in\N:\quad \beta_{2k-1} = B_{4k-2} > 0
\forall\,k\in\N:\quad -\beta_{2k} = B_{4k} < 0

Die Zahlen \beta_{k} bilden eine streng konvexe (ihre Differenzen wachsen) Folge. Die Nenner der \beta_{k} sind stets ein Vielfaches von 6, denn es gilt
der Satz von Clausen und von-Staudt, auch Staudt-Clausen'scher Satz[1] genannt:

\forall\,k\in\N\colon\qquad \text{Nenner}(B_{2k}) = \prod_{p \in \mathbb P \atop p-1\,|\,2k} p

benannt nach der unabhängigen Entdeckung von Thomas Clausen und Karl von Staudt 1840. Der Nenner der B_{2k} ist also das Produkt aller Primzahlen, für die gilt, dass p-1 den Index 2k teilt. Unter Nutzung des kleinen Fermatschen Satzes folgt somit, dass der Faktor 2(2^{2k}-1) diese rationalen Zahlen in ganze Zahlen überführt.

Auch wenn die Folge der B_{2k} zunächst betragsmäßig relativ kleine Zahlenwerte annimmt, geht |B_{2k}| mit wachsendem k doch schneller gegen Unendlich als jede Exponentialfunktion. So ist z. B.

B_{100} \approx -2,838 \cdot 10^{78} und B_{1000} \approx -5,319 \cdot 10^{1769}.

Ihr asymptotisches Verhalten lässt sich mit

 \beta_{k} = |B_{2k}| \sim \frac{2\,(2k)!}{(2\pi)^{2k}}

beschreiben, daher ist auch der Konvergenzradius der Taylorreihen, die oben zu ihrer Definition herangezogen wurden, gleich 2\pi.

Rekursionsformeln[Bearbeiten]

Möchte man die Bernoulli-Zahlen der ersten Art beschreiben, also B_1 = -1/2, so ergeben sich diese Bernoulli-Zahlen B_k aus der Rekursionsformel mit n \in \N

B_n = -\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1} {n + 1\choose k}B_k

und dem Startwert B_0=1. Für ungerade Indizes k \ge 3 folgt daraus wieder B_k = 0. Diese Formel entstammt der impliziten Definition der Bernoulli-Zahlen erster Art, die bis Mitte des 20-ten Jahrhunderts auch die gebräuchlichste Definition war, da sie eine leicht zu merkende Gestalt hat:

\forall\,n \in \N_0\setminus\{1\}\colon \qquad B^n = (1+B)^n,

die auch in der weniger verbreiteten Form geschrieben werden kann als

\forall\,n \in \N_0\colon \qquad (-B)^n = (1+B)^n,

wobei in diesen Darstellungen Potenzen von B als die entsprechend indizierten Bernoulli-Zahlen zu interpretieren sind. Für die Bernoulli-Zahlen der zweiten Art lässt sich analog

\forall\,n \in \N_0\setminus\{1\}\colon \qquad {B^\ast}^n = (B^\ast-1)^n

als auch

\forall\,n \in \N_0\colon \qquad {B^\ast}^n = (1+B^\ast)^n - n

oder eleganter

\forall\,n \in \N_0\colon \qquad {B^\ast}^n = (1-B^\ast)^n

schreiben und als induktive Definition der Bernoulli-Zahlen zweiter Art verwenden mit n \in \N zu

B^\ast_n = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{n+1-k} {n + 1\choose k}B^\ast_k

mit dem Startwert B^\ast_0=1 oder für alle n\in \N_0 als

B^\ast_n = 1-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1} {n + 1\choose k}B^\ast_k

Reihen mit Bernoulli-Zahlen[Bearbeiten]

Diese Zahlen treten beispielsweise in der Taylorreihe des Tangens, des Tangens Hyperbolicus oder des Cosecans auf; im Allgemeinen, wenn eine Funktion eine geschlossene Darstellung hat, wo die Sinusfunktion (oder Sinus Hyperbolikus-funktion) im Nenner steht – d. h. durch die Summe oder Differenz zweier e-Funktionen dividiert wird:

\forall x \text{ mit } |x| < \frac \pi 2\colon \qquad \tan(x) = \sum_{k=1}^\infty  (-1)^k\frac{2^{2k}(1-2^{2k})}{(2k)!} B_{2k}x^{2k-1}
\forall x \text{ mit } |x| < \frac \pi 2\colon \qquad \tanh(x) = \sum_{k=1}^\infty  \frac{2^{2k}(2^{2k}-1)}{(2k)!} B_{2k}x^{2k-1}
\forall x \text{ mit } |x| < \pi\colon \qquad \csc(x) = \sum_{k=0}^\infty  (-1)^k\frac{2-2^{2k}}{(2k)!} B_{2k}x^{2k-1}
\forall x \text{ mit } |x| < \pi\colon \qquad \cot(x) = \sum_{k=0}^\infty
(-1)^k\frac{2^{2k}}{(2k)!} B_{2k}x^{2k-1}

Hier zwei nicht konvergierende asymptotische Entwicklungen, die der Trigamma-Funktion (die zweite Ableitung des natürlichen Logarithmus der Gammafunktion)

\psi_1(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{B_{k}^\ast}{z^{k+1}}

und die des natürlichen Logarithmus der Gammafunktion

\ln \Gamma(x+1) = x \ln x - x + \frac{\ln x}{2} + \ln \sqrt{2\pi} + \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k(2k-1) x^{2k-1}},

die als Logarithmus der Stirling-Formel bekannt ist. Diese lässt sich einfach aus der asymptotischen Form der Euler-Maclaurin-Formel ableiten die in ihrer symmetrischen Schreibweise

\sum_{i = m}^{n} f(i) = \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{1}{j!} \left(B_{j}^\ast f^{(j-1)}(n) - B_{j} f^{(j-1)}(m)\right)

lautet – wobei hier der Ausdruck f^{(j-1)}(x) die \textstyle j\!-\!1-te Ableitung (speziell für \textstyle j\!=\!0 das Integral) der Funktion f ausgewertet an der Stelle x bedeutet –, wenn man dort f(i) = \ln i setzt, die untere Summationsgrenze \textstyle m zu \textstyle 1 wählt und die obere Summationsgrenze \textstyle n mit \textstyle x variabel hält. Dies ist eine der bekanntesten Anwendungen der Bernoulli-Zahlen und gilt für alle analytischen Funktionen f, auch wenn diese asymptotische Entwicklung in den meisten Fällen nicht konvergiert.

Zusammenhang mit der Riemannschen Zeta-Funktion[Bearbeiten]

Die folgenden Reihenentwicklungen liefern die (im oben genannten Sinne) „klassischen“ Bernoulli-Zahlen:

\begin{align} 
\beta_n = \frac{(2n)!}{2^{2n - 1}  \pi^{2n}} \zeta(2n)
 = \frac{(2n)!}{2^{2n - 1}  \pi^{2n}}  \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2n}}
 = \frac{2 \, (2n)!}{(2^{2n} - 1)  \pi^{2n}}  \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k + 1)^{2n}}
 = \frac{(2n)!}{(2^{2n - 1} - 1) \pi^{2n}}  \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k - 1}}{k^{2n}}.
\end{align}

Für die „modernen“ Bernoulli-Zahlen gilt

\begin{align}
B_n^\ast = -\frac{n! \, \cos(\frac{\pi}{2}n)}{2^{n - 1} \pi^n} \zeta(n)
 = -\frac{n! \, \cos(\frac{\pi}{2}n)}{2^{n - 1} \pi^n}  \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^n}
 = -\frac{2 \, n! \, \cos(\frac{\pi}{2}n)}{(2^n - 1) \pi^n}  \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k + 1)^n}
 = \frac{n! \, \cos(\frac{\pi}{2}n)} {(2^{n - 1} - 1) \pi^n}  \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k}}{k^n},
\end{align}

wobei im Fall der neueren Definition für n=1 undefinierte Ausdrücke der Form \tfrac{0}{0} entstehen, die aber gemäß der Regel von L’Hospital wegen \textstyle \lim_{n \to 1} \cos(\frac \pi 2 n) = \lim_{n \to 1} \frac \pi 2 (1-n) den Pol erster Ordnung der Riemannschen Zetafunktion bei 1 (bzw. in der letzten Darstellung den Term \textstyle 2^{n-1}-1 im Nenner) aufheben und somit korrekt den Wert \tfrac{1}{2} liefern.

Für die Bernoulli-Zahlen zweiter Art gibt es noch die prägnante Darstellung

B_n^\ast = -n\,\zeta(1-n)\quad \forall\,n\in\N_0,

so dass die gesamte Theorie der Riemannschen Zetafunktion zur Charakterisierung der Bernoulli-Zahlen bereitsteht.

Beispielsweise geht aus der Produktdarstellung der Riemannschen Zeta-Funktion und obigen Reihenentwicklungen der Bernoulli-Zahlen die folgende Darstellung hervor:

 \beta_n = \frac{2\,(2n)!}{ (2\pi)^{2n}} \  \prod_{p \in \mathbb P} \left( 1 - \frac{1}{p^{2n}} \right)^{-1} = \frac{2\,(2n)!}{ (2\pi)^{2n}} \  \frac{1}{\left(1 - \frac{1}{2^{2n}} \right)\left(1 - \frac{1}{3^{2n}} \right)\left(1 - \frac{1}{5^{2n}} \right) \cdots} .

Hierbei erstreckt sich das Produkt über alle Primzahlen (siehe auch Eulerprodukt der Riemannschen Zetafunktion).

Integraldarstellungen[Bearbeiten]

Es gibt viele uneigentliche Integrale mit Summen oder Differenzen von zwei Exponentialfunktionen im Nenner des Integranden, deren Werte durch Bernoulli-Zahlen gegeben sind. Einige einfache Beispiele sind

\forall\,n\in\N\;\forall\,a\in\R^+\colon\qquad \int_0^\infty \frac{x^{2n-1}}{e^{ax} - e^{-ax}}\; \text{d}x = \frac{2^{2n}-1}{4} \beta_n \left(\frac{\pi}{a}\right)^{2n}
\forall\,n\in\N\;\forall\,a\in\R^+\colon\qquad \int_0^\infty \frac{x^{2n-1}}{e^{ax} - 1}\; \text{d}x = \frac{\beta_n}{4} \left(\frac{2\pi}{a}\right)^{2n}
\forall\,n\in\N\;\forall\,a\in\R^+\colon\qquad \int_0^\infty \frac{x^{2n-1}}{e^{ax} + 1}\;
\text{d}x = \frac{2^{2n}-1}{2n} \beta_n \left(\frac{\pi}{a}\right)^{2n}

aber auch

\forall\,n\in\N\;\forall\,a\in\R^+\colon\qquad \int_0^1 (\ln x)^{2n-2} \ln (1-x^a) \frac{1}{x}\; \text{d}x = \frac{-(2\pi)^{2n-1}\beta_{n}}{4n(2n-1)a^{2n-1}}

aus.[2]

Bernoulli-Polynome[Bearbeiten]

Die Graphen der Bernoulli-Polynome des Grades 1 bis 6

Für jedes n \in \N_0 ist das Bernoulli-Polynom eine Abbildung \text{B}_n\colon[0,1] \rightarrow \mathbb{R} und durch folgende Rekursionsgleichungen vollständig charakterisiert: Für n = 0 setzen wir

\text{B}_0(x) := 1

und für n \geq 1 ergibt sich das n-te Bernoulli-Polynom \text{B}_n eindeutig durch die beiden Bedingungen

\text{B}_n(x) = n \int \text{B}_{n-1}(x) \, \text{d}x

und

\int_0^1 \text{B}_n(x) \, \text{d}x = 0

rekursiv aus dem vorherigen. Als Summe der Potenzen von x geschrieben lautet der Ausdruck für das n-te Polynom

\text{B}_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n {n\choose k}B_k\,x^{n-k},

wobei hier wieder die B_k die Bernoulli-Zahlen erster Art bezeichnen. Diese Form folgt direkt aus der symbolischen Formel

 \text{B}_n(x) = (B + x)^n

worin man die Potenzen von B als die entsprechende n-te Bernoulli-Zahl B_n interpretiert. Die ersten Bernoulli-Polynome lauten

\text{B}_0(x) = 1
\text{B}_1(x) = x - \tfrac{1}{2}
\text{B}_2(x) = x^2 - x + \tfrac{1}{6}
\text{B}_3(x) = x^3 -\tfrac{3}{2}x^2 +\tfrac{1}{2}x.
\text{B}_4(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - \tfrac{1}{30}
\text{B}_5(x) = x^5 - \tfrac{5}{2}x^4 + \tfrac{5}{3}x^3 - \tfrac{1}{6}x
\text{B}_6(x) = x^6 - 3x^5 + \tfrac{5}{2}x^4 - \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{1}{42}

Diese Polynome sind symmetrisch um \tfrac 1 2, genauer

\text{B}_{k}(\tfrac 1 2+x) = (-1)^k \text{B}_{k}(\tfrac 1 2 -x)

. Ihre konstanten Terme sind die Bernoulli-Zahlen erster Art, also

 \text{B}_k(0) = B_k,

die Bernoulli-Zahlen zweiter Art erhält man aus

 \text{B}_k(1) = B_k^\ast

und schließlich gilt

 \text{B}_k(\tfrac 1 2) =  -(1-2^{1-k}) B_k^\ast = -(1-2^{1-k}) B_k

in der Intervallmitte. Das k-te Bernoulli-Polynom hat für k > 5 weniger als k Nullstellen in ganz \R und für gerades n ≠ 0 zwei und für ungerades n ≠ 1 die drei Nullstellen 0, \tfrac 1 2 , 1 im Intervall [0,1]. Sei  R(n) = \{x \in \R\colon \text{B}_n(x)=0 \} die Nullstellenmenge dieser Polynome. Dann ist

  -\tfrac 1 4 |R(n)| +\tfrac 3 4  \le \min R(n) \le \max R(n) \le  \tfrac 1 4 |R(n)| + \tfrac 1 4

für alle n ≠ 5 und n ≠ 2 und es gilt

 \lim_{n \to \infty} \frac{ |R(n)| }{n} = \frac{2}{\pi e} \approx 0,2342

wobei die Funktion |\cdot| angewandt auf eine Menge deren Elementanzahl angibt.

Die Funktionswerte der Bernoulli-Polynome im Intervall [0,1] sind für geraden Index durch

 -|B_{k}| \le \text{B}_{k}(x) \le |B_{k}|

und für ungeraden Index \not= 1 (aber nicht scharf) durch

 -\frac{2\zeta(k)k!}{(2\pi)^k} < \text{B}_{k}(x) < \frac{2\zeta(k)k!}{(2\pi)^k}

beschränkt.

Ferner genügen sie der Gleichung

 \text{B}_k(x+1) = \text{B}_k(x) + kx^{k-1}

falls man sie auf ganz \R analytisch fortsetzt und die Summe der Potenz der ersten n natürlichen Zahlen läßt sich mit ihnen als


\sum_{j=1}^n j^k = \int_0^{n+1} B_k(t)\, \text{d}t = \frac{ \text{B}_{k+1}(n+1) - \text{B}_{k+1}(0)}{k+1}

beschreiben. Die Indexverschiebung von n zu n+1 auf der rechten Seite der Gleichung ist hier notwendig, da man historisch die Bernoulli-Poynome an den Bernoulli-Zahlen erster Art (und nicht zweiter Art) „fälschlicherweise“ festmachte[3] und somit statt \tfrac k 2 {n^k} den Summanden -\tfrac k 2 n^k in obigen Bernoulli-Poynomen erhält, was hier genau den Wert n^k zu wenig ergibt (den letzten Term der Summe auf der linken Seite) und daher auf der rechten Seite dieser Index noch „eins weiter“ laufen muß.

Bernoulli-Zahlen in der algebraischen Zahlentheorie[Bearbeiten]

Satz von Staudt:

\forall\,p \in \mathbb P  \;\forall\,n \in \mathbb N \text{ mit } (p-1)\,|\, 2n\;\colon\qquad
p B_{2n} \equiv -1 \pmod p

Als Satz von Staudt-Clausen ist auch die Aussage

B_{2n}+\!\sum_{p \in \mathbb P \atop p-1\,|\,2n}\!\frac 1 p \quad \in\;\Z

bekannt, die etwas stärker ist als der vorherige Satz von Clausen und von-Staudt zur Charakterisierung der Nenner. Die Folge der so bestimmten ganzen Zahlen für geradzahligen Index lautet 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, -6, 56, -528, 6193, \ldots.

Kummersche Kongruenz:

\forall\,p \in \mathbb P  \;\forall\,n \in \mathbb N \text{ mit } (p-1) \not|\, 2n\;\colon\qquad
\frac{B_{2n+p-1}}{2n+p-1} \equiv \frac{B_{2n}}{2n} \pmod p

Eine ungerade Zahl p \in \mathbb{P} heißt reguläre Primzahl, wenn sie keinen der Zähler der Bernoulli-Zahlen B_{2n} mit 2n \le p-3 teilt. Kummer zeigte, dass diese Bedingung äquivalent dazu ist, dass p nicht die Klassenzahl h_{\mathbb{Q}(\zeta_p)} des p-ten Kreisteilungskörpers \mathbb{Q}(\zeta_p) teilt. Er konnte so 1850 beweisen, dass der große Fermatsche Satz, nämlich a^p+b^p=c^p hat für p > 2 keine Lösungen in \N, für alle Exponenten p gilt, die eine reguläre Primzahl sind. Damit war beispielsweise durch das Überprüfen der Bernoulli-Zahlen bis Index 94 der große Fermatsche Satz mit Ausnahme der Exponenten 37, 59, 67 und 74 für alle anderen Exponenten \le 100 bewiesen.

Tangentenzahlen und Anwendungen in der Kombinatorik[Bearbeiten]

Betrachtet man die Eulerschen Zahlen und die Taylorentwicklung der Tangens-Funktion, so kann man die Tangenten-Zahlen[4] implizit definieren zu

\forall x \text{ mit } |x| < \frac \pi 2\colon \qquad \tan(x) = \sum_{k=1}^\infty  (-1)^k\frac{2^{2k}(1-2^{2k})}{(2k)!} B_{2k}x^{2k-1} = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k}\frac{T_{2k-1}}{(2k-1)!} x^{2k-1}

und für Index Null noch T_0 = 1 setzen. Man hat somit die Transformation

 \forall\,n\in\N\colon\quad T_{n-1} = -\frac{2^{n}(2^{n}-1)}{n} B_{n}

die aus den Bernoulli-Zahlen erster Art diese Folge ganzer Zahlen erzeugt

 (T_n)_{n \in \N_0} = (1, -1, 0, 2, 0, -16, 0, 272, 0, -7936, \ldots ) .

Da die Vorzeichenwahl in der impliziten Definition völlig willkürlich ist, kann man genauso berechtigt mittels

 \forall\,n\in\N\colon\quad T^\ast_{n-1} = \mp \frac{2^{n}(2^{n}-1)}{n} B^\ast_{n}

die Tangentenzahlen definieren, mit der Konsequenz

 (T^\ast_n)_{n \in \N_0} = (\mp 1, \mp 1, 0, \pm 2, 0, \mp 16, 0, \pm 272, 0, \mp 7936, \ldots)

und hat für alle Indizes T^\ast_{n} = \pm 2^{n+1}(2^{n+1}-1) \zeta(-n) .

In jedem Fall sind mit Ausnahme von T_0 alle Zahlen mit geradem Index Null und die mit ungeradem Index haben alternierendes Vorzeichen.

Die Werte 2|T_{2k+1}| sind nun genau die Anzahl alternierender Permutationen einer 2k+1 elementigen Menge. Weitere Informationen zur direkten Bestimmung der Tangentenzahlen findet man im Artikel Eulersche Zahlen.

In der Kombinatorik lassen sich die Bernoulli-Zahlen zweiter Art auch durch die Stirling-Zahlen zweiter Art \textstyle \left\{{n \atop k}\right\} darstellen als

\forall\,n\in\N_0\colon\quad B^\ast_{n}=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k!}{k+1} \left\{{n \atop k}\right\}

Die Werte k! \left\{{n \atop k}\right\} werden auch als Worpitzky-Zahlen bezeichnet.[5] Ein weiterer Zusammenhang ergibt sich über die erzeugende Potenzreihe der Stirling-Polynome S_k(x) mit k\in\N_0 wegen

 \sum_{k=0}^\infty \frac{S_k(x)}{k!} t^k = \left( \frac t {1-e^{-t}} \right)^{x+1}

mit den Stirling-Zahlen erster Art \textstyle \left[{n \atop \ell}\right] zu

S_k(m) = \frac{ (-1)^k }{ {m \choose k} } \left[{m+1 \atop m\!+\!1\!-\!k}\right]\qquad \text{für } m \in \N_0 , \; k \le m+1

die man so für negatives \ell definieren könnte. Daher sind die Bernoulli-Zahlen zweiter Art auch die Werte der Sterling-Polynome bei Null

S_k(0) = B^\ast_{k}

aufgrund der gleichen formalen Potenzreihe.

Algebraische Topologie[Bearbeiten]

Hier im Artikel sind die Bernoulli-Zahlen zu Anfang willkürlich mittels erzeugender Potenzreihen definiert worden. Die formale Potenzreihe von \tfrac x {1-e^{-x}} tritt aber auch direkt bei der Bestimmung der Todd-Klasse eines Vektorbündels E auf einem topologischen Raum X auf:

\operatorname{td}(E)=\prod_{i\in\N} \frac{c_i}{1-e^{-c_i}} = \prod_{i\in\N}\; \sum_{k=0}^\infty B_k^\ast \frac{c_i^k}{k!}

wobei die c_i die Kohomologieklassen von E sind. Wenn X endlich-dimensional ist, dann ist td(E) ein Polynom. Die Bernoulli-Zahlen zweiter Art "zählen" hier also ganz natürlich gewisse topologische Objekte. Diese formale Potenzreihe schlägt sich genauso im L-Geschlecht bzw. Todd-Geschlecht der charakteristischen Potenzreihe einer orientierbaren Mannigfaltigkeit nieder. [6]

Literatur[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

  1. Kluyver, J. C. , Der Staudt-Clausen'sche Satz, Math. Ann. Bd. 53, (1900), S. 591–592
  2. W. Gröbner und N. Hofreiter, INTEGRALTAFEL zweiter Teil BESTIMMTE INTEGRALE, 5. verb. Auflage, Springer-Verlag, 1973
  3. John H. Conway · Richard K. Guy , The Book of Numbers, Springer-Verlag, 1996, ISBN 0-387-97993-X, Kap. 4, S. 107-109
  4. J. M. Borwein, P. B. Borwein, K. Dilcher, Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions, AMM, Bd. 96, Nr 8, (Okt. 1989), S. 682
  5. Henry Wadsworth Gould, Combinatorial identities, Morgantown, W Va, 1972
  6. Kurt W.A.J.H.Y. Reillag / Jean Gallier, Complex Algebraic Geometry, CIS 610, Lecture Notes, Fall 2003 - Spring 2004, Chap 3, S. 209-220, URL http://www.osti.gov/eprints/topicpages/documents/record/615/0132643.html

Weblinks[Bearbeiten]