Bernoulli-Zahl

Die Bernoulli-Zahlen oder bernoullischen Zahlen $B_n$ sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: als Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel, und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion. Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Jakob Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingeführt.

Definition

Achtung: In der Literatur werden die Bernoulli-Zahlen in zwei verschiedenen Weisen definiert, die im Folgenden zur Unterscheidung $B_n$ bzw. $\beta_n$ geschrieben werden!

Die Bernoulli-Zahlen werden am einfachsten als Taylor-Koeffizienten der erzeugenden Funktion $\tfrac{x}{e^x-1}$ eingeführt. Die Reihenentwicklung

$\begin{align} \frac{x}{e^x-1} &= 1 - {x\over 2} + B_1 {x^2\over 2!} - B_2{x^4\over 4!} \pm \cdots + {(-1)}^{n+1} B_n {x^{2n}\over (2n)!}\pm \cdots \\ &= \beta_0 {x^0\over 0!} + \beta_1 {x\over 1!} + \beta_2 {x^2\over 2!} + \cdots + \beta_n {x^{n}\over n!} + \cdots \end{align}$

konvergiert für alle $x$ mit einem Betrag kleiner als $2$$\pi$.

Bernoulli selbst entdeckte diese Zahlen bei der Summation von Potenzen natürlicher Zahlen, z. B.:

$\begin{align} 1 + 2 + \cdots + (n-1) &= \tfrac12 (n-1) n \\ 1^2 + 2^2 + \cdots + (n-1)^2 &= \tfrac16 n (n-1) (2n -1) \end{align}$

Bei der Summation der k-ten Potenzen ist der Koeffizient des linearen Gliedes des Polynoms auf der rechten Seiten gleich $\beta_k$.

Zahlenwerte

Die ersten Bernoulli-Zahlen lauten: $B_1$, $B_2$, $B_3$, … = 1/6, 1/30, 1/42, 1/30, 5/66, 691/2730, 7/6, 3617/510, 43867/798, 174611/330, 854513/138, … Diese Zahlen finden sich beispielsweise in der Reihenentwicklung des Tangens, des Tangens Hyperbolicus oder des Cosecans wieder.

In der alternativen Definition ist β₀ = 1 und β₁ = − 1/2; alle weiteren $\beta$ mit ungeradem Koeffizienten verschwinden: $\beta_{2n+1} = 0$.

Die $\beta$ mit geraden Koeffizienten ergeben sich aus den $B_n$ gemäß $B_n = (-1)^{n+1}\beta_{2n}$ als $\beta_2$, $\beta_4$, $\beta_6$, … = 1/6, − 1/30, 1/42, − 1/30, 5/66, …

Auch wenn die Folge-$\beta_n$ zunächst kleine Zahlenwerte annimmt, geht $|\beta_n|$ doch schneller gegen Unendlich als $e^n$. So ist

$\beta_{100} \approx -2,838 \cdot 10^{78}$ bzw. $\beta_{1000} \approx -5,319 \cdot 10^{1769}$.

Reihenentwicklungen für Bernoulli-Zahlen

Die folgenden Reihenentwicklungen liefern die klassischen (im o. g. Sinne) Bernoulli-Zahlen:

$\begin{align} B_n &= \frac{ (2n)!} {2^{2n - 1}\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{ k^{2n}} \\ &= \frac{2 \cdot (2n)!}{(2^{2n}-1)\cdot\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{ (2k + 1) ^{2n}} \\ &= \frac{(2n)!} {(2^{2n - 1} - 1)\cdot\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{ k^{2n}} \end{align}$

Produktentwicklung für Bernoulli-Zahlen

Aus den Reihenentwicklungen geht die folgende Produktentwicklung der Bernoulli-Zahlen hervor:

$B_n = \frac{(2n)!}{2^{2n - 1} \pi^{2n}} \ \cdot \prod_{p \ \mathrm{prim}} \left( 1 - \frac{1}{p^{2n}} \right)^{-1} = \frac{(2n)!}{2^{2n - 1} \pi^{2n}} \ \frac{1}{\left(1 - \frac{1}{2^{2n}} \right)\left(1 - \frac{1}{3^{2n}} \right)\left(1 - \frac{1}{5^{2n}} \right) \cdots}.$

Hierbei erstreckt sich das Produkt über alle Primzahlen (siehe Eulerprodukt).

Rekursionsformel

Setzt man β₀ = 1 und β₁ = − 1/2, so ergeben sich die Bernoulli-Zahlen $\beta_k$ aus der Rekursionsformel:

$\sum_{k=0}^n {n + 1\choose k}\beta_k = 0$

Für ungerade Zahlen n ≥ 3 gilt β_n = 0

Bernoulli-Zahlen und Bernoulli-Polynome

Die Bernoulli-Polynome sind eine Abbildung von $B_n:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ und durch folgende Rekursionsgleichungen vollständig charakterisiert: Für $n = 0$ setzen wir

$B_0(x) := 1$

und für $n \geq 1$ ergibt sich das $n$-te Bernoulli-Polynom $B_n$ eindeutig durch die beiden Bedingungen

$\frac{d}{dx}B_n(x) = n \cdot B_{n-1}(x)$

und

$\int_0^1 B_n(x) \, dx = 0.$

Als Summe geschrieben lautet der Ausdruck für das $n$-te Polynom:

$B_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n {n\choose k}\beta_k\,x^{n-k}.$

Die ersten drei Polynome lauten somit:

$B_1(x) = x-\frac{1}{2}$

$B_2(x) = x^2 - x + \frac{1}{6}$

$B_3(x) = x^3 -\frac{3}{2}x^2 +\frac{1}{2}x.$

Die konstanten Terme dieser Polynome stehen in direktem Zusammenhang mit den Bernoulli-Zahlen, denn es sind gerade die Bernoulli-Zahlen $\beta_n$.

Literatur

• Jakob Bernoulli: Ars conjectandi, opus posthumum (Kunst des Vermutens, hinterlassenes Werk), Basileæ (Basel) 1713 (lateinisch)
• Julius Worpitzky: Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen, Crelles Journal 94, 1883, S. 203–232
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag, 1992
• Kenneth F. Ireland, Michael Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 84, Springer–Verlag, 2. Auflage 1990

Siehe auch

• Ada Lovelace

Weblinks

• Die ersten 498 Bernoulli-Zahlen als Projekt-Gutenberg-e-Text.
• Helmut Richter, Bernhard Schiekel: Potenzsummen, Bernoulli-Zahlen und Euler’sche Summenformel (PDF-Datei; 212 kB)
• Bibliographie für Bernoullizahlen (engl.)
• Weisstein, Eric W.: Bernoulli Number in: MathWorld