Bernoullische Differentialgleichung

Die bernoullische Differentialgleichung (nach Jakob Bernoulli) ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

$y'(x)=f(x)y(x) + g(x) y^\alpha(x),\ \alpha\notin \lbrace0,1\rbrace.$

Durch die Transformation

$\ z(x) := (y(x))^{1-\alpha}$

kann man sie auf eine lineare Differentialgleichung zurückführen.

Die Gleichung ist nicht zu verwechseln mit der Bernoulli-Gleichung der Strömungsmechanik.

Satz über die Transformation der bernoullischen Differentialgleichung

Sei $x_0 \in (a, b)$ und

$\left\{\begin{array}{ll} z: (a,b) \rightarrow (0, \infty)\ ,&\textrm{falls}\ \alpha\in \mathbb{R}\setminus\{1,2\},\\ z: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}\setminus\{0\}\ ,&\textrm{falls}\ \alpha = 2,\\\end{array}\right.$

eine Lösung der linearen Differentialgleichung

$z'(x)=(1-\alpha)f(x)z(x) + (1-\alpha)g(x).$

Dann ist

$y(x) := [z(x)]^{\frac{1}{1-\alpha}}$

die Lösung der bernoullischen Differentialgleichung

$y'(x) = f(x)y(x) + g(x)y^\alpha(x)\ ,\ y(x_0) = y_0 := [z(x_0)]^{\frac{1}{1-\alpha}}.$

Weiter besitzt die bernoullische Differentialgleichung für jedes $\alpha>0$ trivialerweise $y\equiv 0$ als Lösung für $y_0=0$.

Beweis

Es gilt

$\begin{array}{lll} y'(x) &=& \frac{1}{1-\alpha}z(x)^{\frac{1}{1-\alpha}-1}z'(x)\\ &=& \frac{1}{1-\alpha}z(x)^{\frac{1}{1-\alpha}-1}\bigl((1-\alpha)f(x)z(x) + (1-\alpha)g(x)\bigr)\\ &=& f(x)z(x)^{\frac{1}{1-\alpha}}+ g(x)z(x)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}\\ &=& f(x)y(x)+ g(x)y^\alpha(x)\ , \end{array}$

während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

$\Box$

Beispiel: Logistische Differentialgleichung

Die logistische Differentialgleichung

$y'(x) = ay(x) - by^2(x),\ y(0) = y_0 > 0,\ a, b > 0$

ist eine bernoullische Differentialgleichung mit $\alpha = 2$. Löst man daher

$z'(x) = -az(x) + b\ ,\ z(0) = \frac{1}{y_0},$

ergibt sich

$z(x) = \frac{b}{a} + \left(\frac{1}{y_0} - \frac{b}{a}\right)e^{-ax}.$

Da $z(x) > 0$ für alle $x > x^-$ mit

$x^- := \left\{\begin{array}{ll} -\infty\ ,&\textrm{falls}\ a \geq by_0,\\ \frac{1}{a}\ln(1-\frac{a}{by_0})\ ,&\textrm{falls}\ a < by_0,\\ \end{array}\right.$

ist

$y(x) := \frac{1}{z(x)} = \frac{1}{\frac{b}{a}+\left(\frac{1}{y_0}-\frac{b}{a}\right)e^{-ax}}$

die Lösung obiger Gleichung auf $(x^-, \infty)$.

Literatur

• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner, März 2004, ISBN 3-519-32227-7