Bernoullische Ungleichung

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In der Mathematik versteht man unter der bernoullischen Ungleichung eine einfache, aber wichtige Ungleichung, mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschätzen lässt.

Für jede reelle Zahl x {\!}^\geq -1[1] und jede nicht negative ganze Zahl n {\!}^\geq 0 gilt

(1+x)^n \geq 1+nx.[2]

Benannt ist die Ungleichung nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli.[3]

Beweis[Bearbeiten]

Die bernoullische Ungleichung lässt sich mit vollständiger Induktion beweisen.[4] Der Induktionsanfang n=0 ist erfüllt:

 (1+x)^0 = 1 \geq 1 = 1 + 0x.[2]

Als Induktionsvoraussetzung gelte nun (1+x)^n \geq 1+nx für  n \in \mathbb{N}_0, x \in \mathbb{R} und x \geq -1. Dann folgt wegen 1+x\ge 0 und der Induktionsvoraussetzung

\begin{array}{lcl}
(1+x)^{n+1}&=&(1+x)^n \cdot (1+x)\\
&\stackrel{\mathrm{I.\,V.}}\geq&(1+nx)\cdot(1+x)\\
&=&1 + x + nx + nx^2\\
&\geq&1 + x + nx\\
&=&1 + (n+1)x.\\\end{array}

Nach dem Induktionsprinzip gilt die Behauptung für alle n \in \mathbb{N}_0.

Beispiel[Bearbeiten]

Behauptung:

\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1

für alle reellen a\geq 1.

Beweis: Zunächst sei x_n\geq 0 definiert durch

\sqrt[n]{a} = 1 + x_n.

Dann gilt nach der Bernoulli-Ungleichung

a = (1 + x_n)^n \geq 1 + nx_n,

also

\frac{a - 1}{n} \geq x_n \geq 0.

Es ist aber

\lim_{n \to \infty}\frac{a - 1}{n} = 0.

Damit ist dann auch

 \lim_{n\to\infty}x_n = 0

und letztlich

\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1 + \lim_{n\to\infty}x_n = 1 + 0 = 1.

Verwandte Ungleichungen[Bearbeiten]

Strikte Ungleichung[Bearbeiten]

Ebenfalls als bernoullische Ungleichung wird folgende Ungleichung bezeichnet, die ein „strikt größer“ statt eines „größer gleich“ verwendet:

Für alle reellen Zahlen  x > -1, x {\!}^\neq 0 und alle natürlichen Zahlen n {\!}^\geq 2 gilt

(1+x)^n > 1+nx.

Der Beweis lässt sich ebenfalls mit Induktion nach dem gleichen Muster wie der Beweis für die Formulierung mit „größer gleich“ durchführen.[3]

Reelle Exponenten[Bearbeiten]

Für reelle Exponenten lassen sich folgende Verallgemeinerungen durch Vergleich der Ableitungen zeigen: Für alle x > -1 gilt

(1+x)^r\geq 1+rx,

wenn r \geq 1, und

(1+x)^r\leq 1+rx,

wenn 0 \leq r \leq 1.

Variable Faktoren[Bearbeiten]

Betrachtet man keine Potenz, sondern ein Produkt unterschiedlicher Faktoren, so lässt sich folgende Verallgemeinerung mittels vollständiger Induktion zeigen:

\prod_{i=1}^n(1+x_i)> 1+\sum_{i=1}^n x_i

falls -1<x_i<0\; für alle x_i\; oder falls x_i>0\; für alle x_i\; und n {\!}^\geq 2.[3]

Setzt man dabei u_i:=-x_i\; und betrachtet den Spezialfall -1\leq x_i\leq 0, also 0\leq u_i\leq 1, so erhält man die sogenannte Weierstraß-Produkt-Ungleichung[5][6][7]

\prod_{i=1}^n (1-u_i)\geq 1-\sum_{i=1}^n u_i.

Anwendungen[Bearbeiten]

Exponentialfunktion[Bearbeiten]

Die bernoullische Ungleichung ist bei vielen Abschätzungen hilfreich. Fixiere ein festes x \in \mathbb{R}. Dann ist \frac{x}{n} \geq -1 für alle n \geq n_0(x). Mit der bernoullischen Ungleichung gilt daher

\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \geq 1 + n\cdot \frac{x}{n} = 1 + x für alle n \geq n_0(x).

Wegen

e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n

ist somit die Ungleichung

1+x\le e^x für alle x \in \mathbb{R}

bewiesen.

Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel[Bearbeiten]

Unter Verwendung einer Abschätzung mit der bernoullischen Ungleichung lässt sich die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel induktiv beweisen.

Quellen und Bemerkungen[Bearbeiten]

  1. In der Tat gilt die Ungleichung sogar für x {\!}^\geq -2 und ungerade n {\!}^\geq 3, allerdings lässt sich dies nicht mehr mit vollständiger Induktion, sondern nur durch Vergleich der Ableitungen zeigen. Dazu zeigt man, dass f(x) := (1+x)^n - (1+nx) für  -2 < x < -1 negative Ableitung und damit keine Extrema hat, während der Wert für  x = -2 und  x = -1 positiv ist. In diesem Fall hat f ein lokales Maximum in  x = -2.
  2. a b Für den Fall x=-1 und n=0 muss 0^0=1 vereinbart werden.
  3. a b c Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1., B. G. Teubner Stuttgart, 1984, ISBN 3-519-22221-3, S. 61, Kapitel 7.9 und S. 68, Aufgabe 7.17
  4. http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung39/
  5. http://planetmath.org/encyclopedia/WeierstrassProductInequality.html
  6. http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassProductInequality.html
  7. http://www.cut-the-knot.org/Generalization/wineq.shtml