Bernoullische Ungleichung

In der Mathematik versteht man unter der bernoullischen Ungleichung eine einfache, aber wichtige Ungleichung, mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschätzen lässt.

Für jede reelle Zahl $x$ ${\!}^\geq$ $-1$ und jede nicht negative ganze Zahl $n$ ${\!}^\geq$ $0$ gilt

$(1+x)^n \geq 1+nx$.

Benannt ist die Ungleichung nach dem schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli.

Beweis

Die bernoullische Ungleichung lässt sich mit vollständiger Induktion beweisen. Der Induktionsanfang $n=0$ ist erfüllt:

$(1+x)^0 = 1 \geq 1 = 1 + 0x$.

Als Induktionsvoraussetzung gelte nun $(1+x)^n \geq 1+nx$ für $n \in \mathbb{N}_0$, $x \in \mathbb{R}$ und $x \geq -1$. Dann folgt wegen $1+x\ge 0$ und der Induktionsvoraussetzung

$\begin{array}{lll} (1+x)^{n+1}&=&(1+x)^n \cdot (1+x)\\ &\geq&(1+nx)\cdot(1+x)\\ &=&1 + x + nx + nx^2\\ &\geq&1 + x + nx\\ &=&1 + (n+1)x.\\\end{array}$

Nach dem Induktionsprinzip gilt die Behauptung für alle $n \in \mathbb{N}_0$.

Beispiel

Behauptung:

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1$

für alle reellen $a\geq 1$.

Beweis: Zunächst sei $x_n\geq 0$ definiert durch

$\sqrt[n]{a} = 1 + x_n$.

Dann gilt nach der Bernoulli-Ungleichung

$a = (1 + x_n)^n \geq 1 + nx_n$,

also

$\frac{a - 1}{n} \geq x_n \geq 0$.

Es ist aber

$\lim_{n \to \infty}\frac{a - 1}{n} = 0$.

Damit ist dann auch

$\lim_{n\to\infty}x_n = 0$

und letztlich

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1 + \lim_{n\to\infty}x_n = 1 + 0 = 1.$

Verwandte Ungleichungen

Strikte Ungleichung

Ebenfalls als bernoullische Ungleichung wird folgende Ungleichung bezeichnet, die ein „strikt größer“ statt eines „größer gleich“ verwendet:

Für alle reellen Zahlen $x > -1$, $x$ ${\!}^\neq$ $0$ und alle natürlichen Zahlen $n$ ${\!}^\geq$ $2$ gilt

$(1+x)^n > 1+nx$.

Der Beweis lässt sich ebenfalls mit Induktion nach dem gleichen Muster wie der Beweis für die Formulierung mit „größer gleich“ durchführen.

Reelle Exponenten

Für reelle Exponenten lassen sich folgende Verallgemeinerungen durch Vergleich der Ableitungen zeigen: Für alle $x > -1$ gilt

$(1+x)^r\geq 1+rx$,

wenn $r \geq 1$, und

$(1+x)^r\leq 1+rx$,

wenn $0 \leq r \leq 1$.

Variable Faktoren

Betrachtet man keine Potenz, sondern ein Produkt unterschiedlicher Faktoren, so lässt sich folgende Verallgemeinerung mittels vollständiger Induktion zeigen:

$\prod_{i=1}^n(1+x_i)> 1+\sum_{i=1}^n x_i$

falls $-1<x_i<0\;$ für alle $x_i\;$ oder falls $x_i>0\;$ für alle $x_i\;$ und $n$ ${\!}^\geq$ $2$.

Setzt man dabei $u_i:=-x_i\;$ und betrachtet den Spezialfall $-1\leq x_i\leq 0$, also $0\leq u_i\leq 1$, so erhält man die sogenannte Weierstraß-Produkt-Ungleichung

$\prod_{i=1}^n (1-u_i)\geq 1-\sum_{i=1}^n u_i.$

Anwendungen

Exponentialfunktion

Die bernoullische Ungleichung ist bei vielen Abschätzungen hilfreich. Fixiere ein festes $x \in \mathbb{R}$. Dann ist $\frac{x}{n} \geq -1$ für alle $n \geq n_0(x)$. Mit der bernoullischen Ungleichung gilt daher

$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \geq 1 + n\cdot \frac{x}{n} = 1 + x$ für alle $n \geq n_0(x)$.

Wegen

$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$

ist somit die Ungleichung

$1+x\le e^x$ für alle $x \in \mathbb{R}$

bewiesen.

Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

→ Hauptartikel: Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel - Beweis aus Bernoulli-Ungleichung

Unter Verwendung einer Abschätzung mit der bernoullischen Ungleichung lässt sich die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel induktiv beweisen.