Bernoullische Ungleichung

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Eine Veranschaulichung der Bernoulli-Ungleichung. Hier die beiden Funktionen f(x) = (1+x)^n (roter Graph) und g(x)=1+n\cdot x (blauer Graph) mit dem konkreten Wert n=3. Der rote Graph liegt für x \ge -1 stets oberhalb des blauen Graphen.

In der Mathematik versteht man unter der bernoullischen Ungleichung eine einfache, aber wichtige Ungleichung, mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschätzen lässt.

Für jede reelle Zahl x {\!}^\geq -1[1] und jede nicht negative ganze Zahl n {\!}^\geq 0 gilt

(1+x)^n \geq 1+nx.[2]

Benannt ist die Ungleichung nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli.[3]

Geschichte[Bearbeiten]

Jakob Bernoulli veröffentlichte diese Ungleichung zuerst in seiner Arbeit Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis (Basel, 1689), in der er diese Ungleichung häufig anwandte.[4]

Laut Joseph E. Hofmann geht die Ungleichung aber auf den Mathematiker Sluse zurück, der sie 1668 in seiner Arbeit Mesolabum veröffentlicht haben soll.[5][4]

Beweis[Bearbeiten]

Beweis über vollständige Induktion[Bearbeiten]

Die bernoullische Ungleichung lässt sich mit vollständiger Induktion beweisen.[6] Der Induktionsanfang n=0 ist erfüllt:

 (1+x)^0 = 1 \geq 1 = 1 + 0x.[2]

Als Induktionsvoraussetzung gelte nun (1+x)^n \geq 1+nx für  n \in \mathbb{N}_0, x \in \mathbb{R} und x \geq -1. Dann folgt wegen 1+x\ge 0 und der Induktionsvoraussetzung

\begin{array}{lcl}
(1+x)^{n+1}&=&(1+x)^n \cdot (1+x)\\
&\stackrel{\mathrm{I.\,V.}}\geq&(1+nx)\cdot(1+x)\\
&=&1 + x + nx + nx^2\\
&\geq&1 + x + nx\\
&=&1 + (n+1)x.\\\end{array}

Nach dem Induktionsprinzip gilt die Behauptung für alle n \in \mathbb{N}_0.

Alternativer Beweis für nicht-negative x[Bearbeiten]

Für x\ge 0 kann die Bernoulli-Ungleichung auch über den binomischen Lehrsatz bewiesen werden. Es gilt hier

\begin{align}
(1+x)^n & = \sum_{k=0}^n \binom nk x^k \\
& = 1 + n\cdot x + \underbrace{\frac{n(n-1)}2 x^2 + \ldots}_{\ge\ 0 \text{ wegen } x\ge 0} \\
& \ge 1 + n\cdot x
\end{align}

Beispiel[Bearbeiten]

Behauptung:

\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1

für alle reellen a\geq 1.

Beweis: Zunächst sei x_n\geq 0 definiert durch

\sqrt[n]{a} = 1 + x_n.

Dann gilt nach der Bernoulli-Ungleichung

a = (1 + x_n)^n \geq 1 + nx_n,

also

\frac{a - 1}{n} \geq x_n \geq 0.

Es ist aber

\lim_{n \to \infty}\frac{a - 1}{n} = 0.

Damit ist dann auch

 \lim_{n\to\infty}x_n = 0

und letztlich

\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1 + \lim_{n\to\infty}x_n = 1 + 0 = 1.

Verwandte Ungleichungen[Bearbeiten]

Strikte Ungleichung[Bearbeiten]

Ebenfalls als bernoullische Ungleichung wird folgende Ungleichung bezeichnet, die ein „strikt größer“ statt eines „größer gleich“ verwendet:

Für alle reellen Zahlen  x > -1, x {\!}^\neq 0 und alle natürlichen Zahlen n {\!}^\geq 2 gilt

(1+x)^n > 1+nx.

Der Beweis lässt sich ebenfalls mit Induktion nach dem gleichen Muster wie der Beweis für die Formulierung mit „größer gleich“ durchführen.[3]

Reelle Exponenten[Bearbeiten]

Für reelle Exponenten lassen sich folgende Verallgemeinerungen durch Vergleich der Ableitungen zeigen: Für alle x > -1 gilt

(1+x)^r\geq 1+rx,

wenn r \geq 1, und

(1+x)^r\leq 1+rx,

wenn 0 \leq r \leq 1.

Variable Faktoren[Bearbeiten]

Betrachtet man keine Potenz, sondern ein Produkt unterschiedlicher Faktoren, so lässt sich folgende Verallgemeinerung mittels vollständiger Induktion zeigen:

\prod_{i=1}^n(1+x_i)> 1+\sum_{i=1}^n x_i

falls -1<x_i<0\; für alle x_i\; oder falls x_i>0\; für alle x_i\; und n {\!}^\geq 2.[3]

Setzt man dabei u_i:=-x_i\; und betrachtet den Spezialfall -1\leq x_i\leq 0, also 0\leq u_i\leq 1, so erhält man die sogenannte Weierstraß-Produkt-Ungleichung[7][8][9]

\prod_{i=1}^n (1-u_i)\geq 1-\sum_{i=1}^n u_i.

Anwendungen[Bearbeiten]

Exponentialfunktion[Bearbeiten]

Die bernoullische Ungleichung ist bei vielen Abschätzungen hilfreich. Fixiere ein festes x \in \mathbb{R}. Dann ist \frac{x}{n} \geq -1 für alle n \geq n_0(x). Mit der bernoullischen Ungleichung gilt daher

\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \geq 1 + n\cdot \frac{x}{n} = 1 + x für alle n \geq n_0(x).

Wegen

e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n

ist somit die Ungleichung

1+x\le e^x für alle x \in \mathbb{R}

bewiesen.

Beweis von Ungleichungen mit Potenzen[Bearbeiten]

Um die Konvergenz \lim_{n\rightarrow\infty} q^n = 0 für reelle Zahlen q mit 0 < q < 1 zu beweisen, muss unter anderem ein N\in\N gefunden werden, so dass q^N < \epsilon für ein beliebig vorgegebenes \epsilon > 0 ist. Hierfür kann die Bernoulli-Ungleichung verwendet werden. Zunächst formt man die Zielungleichung q^N < \epsilon durch Äquivalenzumformungen um:

\begin{array}{lrl}
& q^N & < \epsilon \\
\iff\ & \left(\tfrac 1q\right)^N & > \tfrac 1\epsilon
\end{array}

Wegen 0 < q < 1 ist \tfrac 1q > 1. Setzen wir 1+x=\tfrac 1q so ist x > 0 und außerdem nach der Bernoulli-Ungleichung

\left(\tfrac 1q\right)^N = (1+x)^N \ge 1+N\cdot x

Alternativ kann also auch ein N\in\N gefunden werden, so dass 1+N\cdot x > \tfrac 1\epsilon ist. Ist nämlich 1+N\cdot x > \tfrac 1\epsilon dann folgt aus obiger Ungleichung \left(\tfrac 1q\right)^N \ge 1+N\cdot x, dass automatisch auch \left(\tfrac 1q\right)^N > \epsilon ist. Die Existenz von N ist durch das archimedische Axiom gewährleistet.

Der Vorteil der obigen Vorgehensweise ist der, dass hier im Beweis nicht auf den Logarithmus zurückgegriffen werden muss, welcher am Anfang einer Analysis-Vorlesung in der Regel noch nicht zur Verfügung steht.

Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel[Bearbeiten]

Unter Verwendung einer Abschätzung mit der bernoullischen Ungleichung lässt sich die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel über vollständige Induktion beweisen. Es ist sogar so, dass die Bernoulli-Ungleichung äquivalent zur Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist.[10]

Quellen und Bemerkungen[Bearbeiten]

  1. In der Tat gilt die Ungleichung sogar für x {\!}^\geq -2 und ungerade n {\!}^\geq 3, allerdings lässt sich dies nicht mehr mit vollständiger Induktion, sondern nur durch Vergleich der Ableitungen zeigen. Dazu zeigt man, dass f(x) := (1+x)^n - (1+nx) für  -2 < x < -1 negative Ableitung und damit keine Extrema hat, während der Wert für  x = -2 und  x = -1 positiv ist. In diesem Fall hat f ein lokales Maximum in  x = -2.
  2. a b Für den Fall x=-1 und n=0 muss 0^0=1 vereinbart werden.
  3. a b c Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1., B. G. Teubner Stuttgart, 1984, ISBN 3-519-22221-3, S. 61, Kapitel 7.9 und S. 68, Aufgabe 7.17
  4. a b History of Science and Mathematics.
  5. Über die Exercitatio Geometrica des M. A. Ricci. (1963), Seite 177.
  6. http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung39/
  7. http://planetmath.org/encyclopedia/WeierstrassProductInequality.html
  8. http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassProductInequality.html
  9. http://www.cut-the-knot.org/Generalization/wineq.shtml
  10. Siehe Some Equivalent Forms of Bernoulli’s Inequality: A Survey. Seite 11.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Bernoullische Ungleichung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien