Bertrandsches Postulat

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Das Bertrandsche Postulat (auch Satz von Bertrand-Tschebyschow) ist ein mathematisches Theorem, das besagt, dass es zwischen jeder (positiven) natürlichen Zahl und ihrem Doppelten immer eine Primzahl gibt, dass also gilt:

\forall\ n\in\mathbb N \, \exists p\in\mathbb P \colon n<p\leq 2n

Diese Behauptung wurde zuerst 1845 von dem Mathematiker Joseph Bertrand aufgestellt, der sie für natürliche Zahlen bis 3.000.000 bewies.[1] Den ersten vollständigen Beweis für alle natürlichen Zahlen lieferte Tschebyschow fünf Jahre später.[2] Einen weiteren, einfacheren Beweis gab der indische Mathematiker S. Ramanujan an.[3] 1932 lieferte auch Paul Erdős einen einfachen Beweis.

Beweis für n ≤ 4000[Bearbeiten]

Für die ersten 4000 natürlichen Zahlen lassen sich einfach Primzahlen angeben, sodass die Behauptung gilt. In der Folge

2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259, 2503, 4001

von Primzahlen ist jedes Folgenglied kleiner als das Doppelte des vorhergehenden. Somit gilt die Behauptung für n \le 4000.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. J. Bertrand: Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu’elle renferme. In: Journal de l’École Royale Polytechnique. 30 (18), 1845, S. 123–140 (französisch).
  2. Tchebichef: Mémoire sur les nombres premiers. (1850), Mémoires de l’académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg 7, 1854, S. 17–33; Journal de mathématiques pures et appliquées 1re série 17, 1852, S. 366–390.
    In: A. Markoff, N. Sonin (Hrsg.): Oeuvres de P. L. Tchebychef. Tome I. St.-Pétersbourg 1899, S. 51–70 (französisch; im Internet-Archiv).
  3. S. Ramanujan: A proof of Bertrand’s postulate. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 11, 1919, S. 181–182 (englisch; im Internet-Archiv).

Weblinks[Bearbeiten]