Bessel-Filter

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Ein Bessel-Filter ist ein Frequenzfilter, bei dessen Entwurf folgende (äquivalente) Eigenschaften angestrebt wurden:

  • optimales „Rechteckübertragungsverhalten“, d. h. eine Wellenform, deren Frequenzanteile innerhalb des Durchlassbereichs des Filters liegen, erscheint (bis auf eine Verzögerung) unverändert am Ausgang;
  • konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich;
  • linearer Phasengang im Durchlassbereich.

Dabei wird in Kauf genommen, dass der Amplitudenverlauf nicht so scharf wie beim Butterworth-Filter oder Tschebyscheff-Filter abknickt.

Der Filter wurde 1949 von W.E. Thomson als (hinsichtlich Gruppenlaufzeit) optimales passives Verzögerungsnetzwerk entwickelt und nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Bessel (1784–1846) benannt.

In der digitalen Signalverarbeitung können Bessel-Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in IIR-Filtern (rekursive Filterstruktur) realisiert werden.

Übertragungsfunktion[Bearbeiten]

Anmerkung:Die Eckfrequenz des Butterworth-Filters und der Tiefpasskaskade wurde dem Bessel-Filter angeglichen

Die Übertragungsfunktion ist darauf optimiert, die Gruppenlaufzeit von der Frequenz unabhängig zu machen.

Mit der Übertragungsfunktion für ein Filter n-ter Ordnung


\underline{A} = \frac{A_0}{1+\sum_{i=1}^n c_i^\prime P^i}

mit

 A_0 Gleichspannungsverstärkung
 P = \frac{p}{\omega _g} \Leftrightarrow j \Omega = j \frac{\omega}{\omega _g} und \omega _g Grenzfrequenz

lässt sich für die Koeffizienten c_i^\prime die Rekursionsformel

i = 1: c_1^\prime = 1
i = 2 … n: c_i^\prime = \frac{2(n-i+1)}{i(2n -i+1)} \cdot c_{i-1}^\prime

ermitteln.

Die Koeffizienten sind allerdings nicht auf die Grenzfrequenz normiert, sondern auf die Gruppenlaufzeit; d.h. bei \Omega = 1 ist die Amplitude nicht um 3 dB abgesunken.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Das Bessel-Filter besitzt folgende Eigenschaften:

  • glatter Frequenzverlauf im Durchlassbereich
  • geringe Steilheit des Amplitudengangs (geringer noch als beim Butterworth-Filter) im Bereich der Grenzfrequenz
  • geringes Überschwingen bei der Sprungantwort, verringert sich mit der Ordnung
  • konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich

Normalisierte Bessel-Polynome[Bearbeiten]

n Bessel-Polynom
1 1+P
2 1+P+\frac{1}{3}P^2
3 1+P+\frac{2}{5}P^2+\frac{1}{15}P^3
4 1+P+\frac{3}{7}P^2+\frac{2}{21}P^3+\frac{1}{105}P^4
5 1+P+\frac{4}{9}P^2+\frac{1}{9}P^3+\frac{1}{63}P^4+\frac{1}{945}P^5

Siehe auch[Bearbeiten]