Besselsche Ungleichung

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Die Besselsche Ungleichung beschreibt in der Funktionalanalysis den Sachverhalt, dass ein Vektor eines Hilbertraums mindestens so „lang“ wie seine Orthogonalprojektion auf einen beliebigen Untervektorraum ist. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel benannt, der sie im Jahr 1828 für den Spezialfall der Fourierreihe bewies.

Aussage[Bearbeiten]

Ist also H ein Hilbertraum und S \subset H ein Orthonormalsystem, so gilt für alle x\in H die Ungleichung

\sum_{e \in S} \vert \langle x, e\rangle \vert^2 \leq \Vert x \Vert^2

wobei \langle \cdot,\cdot \rangle das Skalarprodukt auf dem Hilbertraum darstellt.

Ist das Orthonormalsystem sogar eine Orthonormalbasis, so gilt sogar stets Gleichheit und die Gleichung heißt parsevalsche Gleichung und stellt eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für Innenprodukträume dar.

Literatur[Bearbeiten]