Betaverteilung

Betaverteilung für verschiedene Parameterwerte

Dichten verschiedener beta-verteilter Zufallsgrößen

Die Betaverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über dem Intervall $[0,1]$.

Definition

Betaverteilung auf $[0,1]$

Die Betaverteilung ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)={{1}\over {B(p,q)}}x^{p-1}(1-x)^{q-1}.$

Außerhalb des Intervalls $[0,1]$ wird sie durch $f(x)=0$ fortgesetzt. Sie besitzt die reellen Parameter $p$ und $q$. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird $p,q > 0$ gefordert.

Der Vorfaktor $1/B(p,q)$ dient der korrekten Normierung. Der Ausdruck

$B(p,q)={\Gamma(p) \Gamma(q)\over\Gamma(p+q)}=\int_0^1 u^{p-1} (1-u)^{q-1}\, \mathrm{d}u$

steht für die Betafunktion, nach der die Verteilung benannt ist. Dabei bezeichnet $\Gamma$ die Gammafunktion.

Die Verteilungsfunktion ist entsprechend

$F(x)=\frac{\mathbb{I}_{[0,1]}(x)}{B(p,q)}\cdot \int_0^{x} u^{p-1} (1-u)^{q-1}\mathrm{d}u,$

diese Funktion heißt auch regularisierte unvollständige Betafunktion.

Betaverteilung auf $[a,b]$

Die allgemeine Betaverteilung ist definiert zu

$f(x)={{1}\over {B(a,b,p,q)}}(x-a)^{p-1}(b-x)^{q-1},$

wobei a und b die obere und untere Grenze des Intervalls sind. Entsprechend ergibt sich die Berechnung von $B$ zu

$B(a,b,p,q)=\int_a^b (u-a)^{p-1} (b-u)^{q-1}\mathrm{d}u={\Gamma(p)\Gamma(q)\over\Gamma(p+q)}(b-a)^{p+q-1}.$

Die weiteren Ausführungen in diesem Artikel beziehen sich nur auf die auf das Intervall $[0,1]$ eingeschränkte Betaverteilung.

Eigenschaften

Extremum

Die Dichtefunktion $f$ nimmt ihr Extremum an der Stelle $x_{\text{extrem}}=\left(1+\frac{q-1}{p-1}\right)^{-1}=\frac{p-1}{p+q-2}$ an.

Erwartungswert

Der Erwartungswert berechnet sich zu

$\operatorname{E}(X)={p \over p+q}$.

Varianz

Die Varianz ergibt sich zu

$\operatorname{Var}(X)={pq \over (p+q+1)(p+q)^{2}}$.

Standardabweichung

Für die Standardabweichung ergibt sich

$\sigma = \sqrt{\frac{pq}{(p+q+1)(p+q)^2}}$.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

$\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{q}{p(p+q+1)}}$.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

$\operatorname{v}(X) = \frac{2(q-p)\sqrt{p+q+1}}{(p+q+2)\sqrt{pq}}$.

Symmetrie

Die Beta-Verteilung ist für $p=q$ symmetrisch um $x=\frac{1}{2}$ mit der Schiefe $\operatorname{v}(X)=0$.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Beziehung zur F-Verteilung

Wenn $X \sim \operatorname{F}(m,n)$ F-verteilt und $Y=\frac{m X/n}{1+m X/n}$ ist, dann verteilt sich $Y \sim \operatorname{Beta}(m/2,n/2).$

Beziehung zur Gammaverteilung

Wenn die Zufallsvariablen $X$ mit $\gamma(a_1,b)$und $Y$ mit $\gamma(a_2,b)$ Gamma-verteilt sind mit den Parametern $a_1, a_2$ und $b$, dann ist die Größe $\frac{X}{X+Y}$ Beta-verteilt mit

$B(a_1,a_2) = \frac{\gamma(a_1,b)}{\gamma(a_1,b)+\gamma(a_2,b)}$.

Beispiel

Die Betaverteilung kann aus zwei Gammaverteilungen erhalten werden: Der Quotient $X = U/(U+V)$ aus den stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen $U$ und $V$, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern $b$ und $p_u$ bzw. $p_v$, ist betaverteilt mit den Parametern $p_u$ und $p_v$. $U$ und $V$ lassen sich als Chi-Quadrat-Verteilungen mit $2p_u$ bzw. $2p_v$ Freiheitsgraden interpretieren.

Mit Hilfe der Linearen Regression wird eine Regressionsgerade $y = a + bx$ durch eine Punktwolke mit $n$ Wertepaaren $(x_i;y_i) (i=1,\dots ,n)$ zweier statistischer Merkmale $x$ und $y$ gelegt, und zwar so, dass die Quadratsumme der senkrechten Abstände der $y_i$-Werte von der Geraden minimiert wird.

Die totale Streuung von y (TSS) lässt sich mit der Streuungszerlegung zerlegen in die so genannte erklärte Streuung der durch die Gerade geschätzten Werte y* (ESS) und die nichterklärte Streuung der Residuen (RSS):

$TSS= ESS+RSS$.

Das Bestimmtheitsmaß, der Anteil der erklärten Streuung an der Gesamtstreuung

$r^{2}={{ESS}\over{TSS}}$

beziehungsweise

$r^{2}={ {ESS} \over { {ESS}+{RSS}}}$

ist also betaverteilt. Da das Bestimmtheitsmaß das Quadrat des Korrelationskoeffizienten von $x$ und $y$ darstellt, ist auch das Quadrat des Korrelationskoeffizienten betaverteilt.

Allerdings kann die Verteilung des Bestimmtheitsmaßes beim Modelltest der Regression durch die F-Verteilung angegeben werden, die tabelliert vorliegt.

Weblinks

• Universität Konstanz – Interaktive Animation

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | Extremwert | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Ewen | multinomial | Dirichlet compound multinomial

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma

Multivariate Matrixverteilungen:
Invers Wishart | Matrix-normal | Wishart