Beth-Funktion

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Die Beth-Funktion, benannt nach dem zweiten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als \beth geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung gewisser unendlicher Kardinalzahlen.

Definition[Bearbeiten]

Die Beth-Funktion ordnet jeder Ordinalzahl \alpha eine wie folgt rekursiv definierte Kardinalzahl \beth_\alpha zu[1]:

Bemerkungen[Bearbeiten]

Die Kontinuumshypothese ist gleichbedeutend mit \aleph_1 = \beth_1, denn \beth_1 ist definitionsgemäß die Mächtigkeit der Potenzmenge einer abzählbaren Menge und daher gleichmächtig zum Kontinuum \R. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese ist äquivalent zu \aleph = \beth, das heißt \aleph_\alpha = \beth_\alpha für alle Ordinalzahlen \alpha.

Eine Limes-Kardinalzahl \kappa heißt ein starker Limes, wenn \mu^\lambda < \kappa für alle Kardinalzahlen \lambda,\mu < \kappa. Eine Kardinalzahl \kappa ist genau dann eine starke Limes-Kardinalzahl, wenn \kappa = \beth_\xi für eine Limes-Ordinalzahl \xi[2].

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Thomas Jech: Set Theory. 3rd millenium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2, Kapitel I.5, S. 55.
  2. W. Wistar Comfort, Stylianos Negrepontis: The Theory of Ultrafilters (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 211). Springer, Berlin u. a. 1974, ISBN 3-540-06604-7, Lemma 1.23.