Bethe-Ansatz

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Der Bethe-Ansatz ist ein analytische Methode zur exakten Berechnung von eindimensionalen quantenmechanischen Vielteilchenproblemen. 1931 präsentierte Hans Bethe[1] diese Methode zur Berechnung der exakten Eigenwerte (Eigenenergien) und Eigenvektoren des eindimensionalen Heisenbergmodells. Der eigentliche Bethe-Ansatz beschreibt dabei die Parameterisierung der Eigenvektoren als Ansatz für die Lösung des Eigenwertproblems (Schrödingergleichung).

Varianten des Bethe-Ansatzes führen zur exakten Lösung des Kondo-Modells, welche unabhängig 1980 von Paul Wiegmann [2] und Natan Andrei[3] gefunden wurde, und des Anderson model (P.B. Wiegmann [4] und N. Kawakami, A. Okiji [5] , 1981).

Bethe-Ansatz für das 1D-Heisenberg Modell[Bearbeiten]

Der Bethe-Ansatz wurde ursprünglich für das eindimensionale Heisenberg-Modell mit nächster Nachbarwechselwirkung und periodischen Randbedingungen entwickelt:


H=-J\sum^N_{n=1}\vec{S}_n\cdot \vec{S}_{n+1}=-J\sum^N_{n=1}\left[\frac{1}{2}(S_n^+S^-_{n+1} + S_n^-S^+_{n+1})+S^z_nS^z_{n+1} \right]

Abhängig vom Vorzeichen der Kopplungskonstante J ist der Grundzustand ferromagnetisch oder anti-ferromagnetisch:


J
\begin{cases}
>0 & \text{Ferromagnet}\\
<0 & \text{Anti-Ferromagnet}\\
\end{cases}

Der ferromagnetische Grundzustand ist der Ausgangspunkt für den Bethe-Ansatz. Im ferromagnetischen Grundzustand sind alle Spins in eine Richtung ausgerichtet. Diese wird o.B.d.A in z-Richtung angenommen. Damit kann der Grundzustand beschrieben werden als:


|F\rangle = |\uparrow\uparrow\uparrow...\uparrow\rangle

Im Bethe-Ansatz werden die Zustände mittels der umgeklappten Zustände vom ferromagnetischen Grundzustand klassifiziert. Zum Beispiel wird der Zustand mit zwei umgeklappten Spins an den Gitterplätzen n_1 und n_2 angegeben als:


|n_1n_2\rangle = |\uparrow\uparrow\underbrace{\downarrow}_{n_1}\uparrow..\uparrow\underbrace{\downarrow}_{n_2} \uparrow...\uparrow\rangle

Die Eigenzustände des Hamilton-Operators des Heisenberg-Modells sind gegeben als Superpositionen dieser Zustände. Dabei sind nur Linearkombinationen von Zuständen mit der gleichen Anzahl r von umgeklappten Spins zulässig. Dieses ist begründet in der Tatsache, dass der S_z-Operator mit dem Hamilton-Operator kommutiert und daher die Eigenvektoren aus Linearkombinationen von Spins mit gleicher S_z-Quantenzahl bestehen müssen. Zur Berechnung dieser Zustände ging Bethe iterativ vor und betrachtete zunächst Zustände mit lediglich einem umgeklappten Spin. Dieser wird dann auf Superpositionen von Zuständen mit r umgeklappten Spins ausgeweitet.

r=1[Bearbeiten]

Die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zuständen mit lediglich einem umgeklappten Spin am Gitterplatz n:


|\Psi\rangle = \sum^N_{n=1}a(n)|n\rangle

Die Eigenvektoren sind Lösungen der stationären Schrödingergleichung H|\Psi\rangle=E|\Psi\rangle. Mittels Koeffizientenvergleich findet man N linear unabhängige Gleichungen für die Koeffizienten a(n):


2[E-E_0]a(n)=J[2a(n)-a(n-1)-a(n+1)]

Lösungen dieser Gleichungen, die auch die Bedingung für periodische Randbedingungen a(n+N)=a(n) erfüllen, sind ebene Wellen:


a(n)=e^{ikn}, \qquad k=\frac{2\pi}{N}m \qquad \text{mit} \quad m=0,1,... N-1

Damit sind die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zuständen mit lediglich einem umgeklappten Spin angegeben. Die Energie dieser Zustände folgt aus der Schrödingergleichung:


E-E_0=J(1-cos(k))

Der nächste Schritt besteht darin, sich Superpositionen aus Zuständen mit zwei umgeklappten Spins anzuschauen.

r=2[Bearbeiten]

Der Ansatz für die Eigenvektoren lautet:


|\Psi\rangle = \sum^N_{n1<n2}a(n_1,n_2)|n_1,n_2\rangle

Bethes Ansatz für die Koeffizienten a(n_1,n_2) sind wieder ebene Wellen mit noch unbekannten Amplituden A_1 und A_2:


a(n_1,n_2)=A_1e^{i(k_1n_1+k_2n_2)}+A_2e^{i(k_1n_2+k_2n_1)}

Die Parameter A_1 und A_2 werden durch das Einsetzen in die Schrödingergleichung ermittelt. Dieses ergibt folgendes Amplitudenverhältnis:


\frac{A_1}{A_2}=e^{i \theta}=-\frac{e^{i(k_1+k_2)}+1-2e^{ik_1}}{e^{i(k_1+k_2)}+1-2e^{ik_2}}

welches man in den Ansatz für die Koeffizienten hinzufügt:


a(n_1,n_2)=e^{i(k_1n_1+k_2n_2+\frac{1}{2}\theta_{12})}+e^{i(k_1n_2+k_2n_1+\frac{1}{2}\theta_{21})}

Mit den periodischen Randbedingungen findet man insgesamt, dass die Wellenzahlen k_1,k_2 und der Winkel \theta=\theta_{12}=-\theta_{2,1} folgende Gleichungen erfüllen müssen:


2\cot \frac{\theta}{2}=\cot\frac{k_1}{2}-\cot\frac{k_2}{2} \qquad
Nk_1=2\pi\lambda_1+\theta\qquad Nk_2=2\pi\lambda_2-\theta

wobei die ganzen Zahlen \lambda_i={0,1...N} Bethe-Quantenzahlen genannt werden. Damit sind alle Eigenvektoren für r=2 bestimmt durch alle möglichen Paare, die die Gleichungen erfüllen. Die Energie ist dann geben mittels:


E-E_0=J\sum_{j=1,2}(1-\cos(k_j))

Der letzte Schritt ist die Verallgemeinerung für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit r umgeklappten Spins bestehen.

r beliebig[Bearbeiten]

Für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit r umgeklappten Spins bestehen, lautet der Ansatz:


|\Psi\rangle = \sum^N_{n1<n2<..<n_r}a(n_1,n_2,..,n_r)|n_1,n_2,..,n_r\rangle

mit den Koeffizienten:


a(n_1,..n_r)=\sum_{P\in S_r}\exp\left(i\sum^r_{j=1}k_{P_j}n_j+i\sum_{i<j}\theta_{P_iP_j} \right)

Die Summe läuft dabei über alle möglichen r! Permutationen der Zahlen {1,..,r}. Diese Wahl der Koeffizienten der ebenen Wellen wird als Bethe-Ansatz bezeichnet. Einsetzen in die Schrödingergleichung und die periodischen Randbedingungen führen zu den Bethe-Ansatz-Gleichungen:


\begin{alignat}
 \cdot 2 \cot \frac{\theta_{ij}}{2}&=\cot\frac{k_i}{2}-\cot\frac{k_j}{2} &\qquad \text{mit}\quad& i,j=1..r \\
Nk_i&=2\pi\lambda_i+\sum_{j \neq i}\theta_{ij}&&\lambda_i={1,..,N-1} 
\end{alignat}

Die Eigenvektoren sind gegeben mit allen Kombinationen der Bethe-Quantenzahlen (\lambda_1,..\lambda_r), die die Bethe-Ansatz-Gleichungen erfüllen. Eine Klassifikation der Eigenvektoren ist also über die Bethe-Quantenzahlen möglich. Die Bestimmung aller Eigenvektoren ist allerdings nicht trivial. Die Energie des zugehörigen Zustands kann dann allerdings leicht mittels


(E-E_0)=J\sum^r_{j=1}(1-\cos k_j)

angegeben werden.

Weblinks[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

  1. H Bethe: Zur Theorie der Metalle. In: Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei. Volume 71, Nr. 3-4, 1931, S. 205-226. doi:10.1007/BF01341708.
  2. P.B. Wiegmann, Soviet Phys. JETP Lett., 31, 392 (1980).
  3. N. Andrei: Diagonalization of the Kondo Hamiltonian. In: Phys. Rev. Lett.. 45, Nr. 5, August 1980, S. 379-382. doi:10.1103/PhysRevLett.45.379.
  4. P.B. Wiegmann: Towards an exact solution of the Anderson model. In: Physics Letters A. 80, Nr. 2-3, September 1980, S. 163-167. doi:10.1016/0375-9601(80)90212-1.
  5. Kawakami, Okiji: Exact expression of the ground-state energy for the symmetric anderson model. In: Physics Letters A. 86, Nr. 9, 1981, S. 483-486. doi:10.1016/0375-9601(81)90663-0.