Summennorm

Summennorm in zwei Dimensionen

Die Summennorm, Betragssummennorm oder 1-Norm ist in der Mathematik eine Vektornorm. Sie ist definiert als die Summe der Beträge der Vektorkomponenten und ist eine spezielle p-Norm für die Wahl von $p=1$. Die Einheitssphäre der reellen Summennorm ist ein Kreuzpolytop mit minimalem Volumen über alle p-Normen und daher ergibt die Summennorm für einen gegebenen Vektor den größten Wert aller p-Normen. Die von der Summennorm abgeleitete Metrik ist die Manhattan-Metrik.

Definition

Ist $x = ( x_1, x_2, \ldots , x_n )$ ein n-dimensionaler Vektor mit reellen oder komplexen Einträgen $x_i$ für $i=1, \ldots , n$, dann ist die Summennorm $\| \cdot \|_1$ des Vektors definiert als

$\| x \|_1 := \sum_{i=1}^n | x_i |$.

Die Summennorm entspricht damit der Summe der Beträge der Komponenten des Vektors und wird daher auch etwas genauer Betragssummennorm genannt. Sie ist eine spezielle p-Norm für die Wahl von $p=1$ und heißt deswegen auch 1-Norm.

Beispiele

Reeller Vektor

Die Summennorm des reellen Vektors $x = (3,-2,6) \in \R^3$ ist gegeben als

$\| x \|_1 = | 3 | + | {-2} | + | 6 | = 11$.

Komplexer Vektor

Die Summennorm des komplexen Vektors $x = (3-4i, {-2i}) \in \C^2$ ist gegeben als

$\| x \|_1 = |3-4i| + |{-2i}| = 5 + 2 = 7$.

Eigenschaften

Normeigenschaften

Die Summennorm erfüllt wie alle p-Normen die drei Normaxiome, die hier besonders leicht zu zeigen sind. Die Definitheit folgt aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Betragsfunktion durch

$\| x \|_1 = 0 \; \Leftrightarrow \; \sum_{i=1}^n | x_i | = 0 \; \Rightarrow \; x = ( 0, \ldots , 0) = 0$,

die absolute Homogenität folgt aus der Homogenität der Betragsnorm über

$\| \alpha \cdot x \|_1 = \sum_{i=1}^n | \alpha \cdot x_i | = \sum_{i=1}^n | \alpha | \cdot | x_i | = | \alpha | \cdot \sum_{i=1}^n | x_i | = | \alpha | \cdot \| x \|_1$

und die Subadditivität folgt direkt aus der Dreiecksungleichung für reelle oder komplexe Zahlen

$\| x + y \|_1 = \sum_{i=1}^n | x_i + y_i | \leq \sum_{i=1}^n | x_i | + | y_i | = \sum_{i=1}^n | x_i | + \sum_{i=1}^n | y_i | = \| x \|_1 + \| y \|_1$.

Vergleich mit den anderen p-Normen

Der Einheitssphäre der Summennorm ist in drei Dimensionen ein Oktaeder

Die Summennorm ist von allen p-Normen die größte, das heißt für einen gegebenen Vektor $x$ und $1 < p \leq \infty$ gilt

$\| x \|_1 \geq \| x \| _p$,

wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn der Vektor der Nullvektor oder ein Vielfaches eines Einheitsvektors ist. Umgekehrt kann die Summennorm aufgrund der Äquivalenz von Normen in endlichdimensionalen Vektorräumen nach oben gegen jede p-Norm durch

$\| x \|_1 \leq n^{1-\frac{1}{p}} \cdot \| x \|_p$

abgeschätzt werden, wobei Gleichheit für einen konstanten Vektor gilt. Die Äquivalenzkonstante bezüglich der Maximumsnorm $(p = \infty)$ ist dabei gleich $n$, was maximal zwischen allen p-Normen ist. Die Einheitssphäre der reellen Summennorm hat in zwei Dimensionen die Form eines Quadrats, in drei Dimensionen die Form eines Oktaeders und in allgemeinen Dimensionen die Form eines Kreuzpolytops. Das Volumen der Einheitssphäre der Summennnorm ist dabei minimal über alle p-Normen.

Anwendungen

Abgeleitete Begriffe

Die Manhattan-Metrik ist der Abstand zweier Punkte, wenn man sich nur auf einem Raster bewegen darf. Dieser Abstand ist unabhängig davon welchen Weg man einschlägt (hier 12).

Die Summennorm ist im Gegensatz zur Euklidischen Norm (2-Norm) nicht von einem Skalarprodukt induziert. Die von der Summennorm abgeleitete Metrik ist die Manhattan-Metrik oder Taxi-Metrik

$d(x, y) = \sum_{i=1}^n | x_i - y_i |$.

Im reellen zweidimensionalen Raum misst sie den Abstand zweier Punkte wie die Fahrtstrecke auf einem gitterförmigen Stadtplan, auf dem man sich nur in senkrechten und waagerechten Abschnitten bewegen kann. Die von der Summennorm induzierte Matrixnorm ist die Spaltensummennorm.

Betrag von Multiindizes

Die Summennorm wird häufig als Betrag eines Multiindex $\alpha = (\alpha_1, \ldots , \alpha_n)$ mit nichtnegativen Einträgen verwendet. Beispielsweise kann eine partielle Ableitung einer Funktion mehrerer Veränderlicher $f(x_1, \ldots , x_n)$ als

$f^{(\alpha)} = \frac{\partial^{| \alpha |} f}{\partial x_1^{\alpha_1} \ldots \partial x_n^{\alpha_n}} = \frac{\partial^{\alpha_1 + \ldots + \alpha_n} f}{\partial x_1^{\alpha_1} \ldots \partial x_n^{\alpha_n}}$

geschrieben werden, wobei dann $| \alpha | = \| \alpha \|_1$ die Ordnung der Ableitung ist.

Literatur

• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2008, ISBN 3-540-34186-2.
• Rolf Walter: Einführung in die Analysis 2. de Gruyter, 2007, ISBN 9-783-1101-9540-8.