Bettizahl

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Im mathematischen Teilgebiet der Topologie sind die Bettizahlen eine Folge nichtnegativer ganzer Zahlen, die globale Eigenschaften eines topologischen Raumes beschreiben. Von Henri Poincaré wurde gezeigt, dass sie topologische Invarianten sind. Er benannte die Zahlen nach dem Mathematiker Enrico Betti, da sie eine Verallgemeinerung der von Betti in seiner Arbeit über komplexe algebraische Flächen eingeführten Flächenzahlen sind.

Definition[Bearbeiten]

Es sei X ein topologischer Raum. Dann ist die i-te Bettizahl von X

b_i(X) = \dim_{\mathbb Q}H_i(X,\mathbb Q) für i=0,1,2,\ldots

Dabei bezeichnet H_i(X,\mathbb Q) die i-te singuläre Homologiegruppe mit Koeffizienten in den rationalen Zahlen.

Anschauung[Bearbeiten]

Der Torus

Obwohl die Definition der Bettizahlen sehr abstrakt ist, steckt hinter ihr eine Anschauung. Die Bettizahlen geben an, wie viele k-dimensionale nicht zusammenhängende Flächen der entsprechende topologische Raum hat. Die ersten drei Bettizahlen besagen anschaulich also:

  • b_0 ist die Anzahl der Wegzusammenhangskomponenten.
  • b_1 ist die Anzahl der „zweidimensionalen Löcher“.
  • b_2 ist die Anzahl der dreidimensionalen Hohlräume.

Der rechts abgebildete Torus (gemeint ist Oberfläche) besteht aus einer Zusammenhangskomponente, hat zwei „zweidimensionale Löcher“, zum einen das in der Mitte, zum andern das im Inneren des Torus, und hat einen dreidimensionalen Hohlraum. Die Bettizahlen des Torus sind daher 1, 2, 1, die weiteren Bettizahlen sind 0.

Ist der zu betrachtende topologische Raum jedoch keine orientierbare kompakte Mannigfaltigkeit, so versagt diese Anschauung allerdings schon.

Eigenschaften[Bearbeiten]

b_k = b_{n-k}.
  • Für jede n-dimensionale Mannigfaltigkeit X gilt b_k=0 für k>n.
  • Für zwei topologische Räume X und Y gilt
    
b_n(X\times Y)=\sum_{\lambda+\mu=n}b_\lambda(X)b_\mu(Y).
    Das ist eine direkte Folgerung aus dem Satz von Künneth.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Bettizahlen der n-Sphäre sind
b_k(S^n)=\begin{cases}1&\mathrm{f\ddot ur}\ k=0\ \mathrm{und}\ k=n\\0&\mathrm{sonst}\end{cases}
  • Die Bettizahlen der reellen projektiven Ebene sind 1,0,0,0,\ldots, genau wie die eines einzelnen Punktes und jeder konvexen Menge im \mathbb R^n. Zwei sehr verschiedene Räume können also in allen Bettizahlen übereinstimmen.

Verwandte Begriffe[Bearbeiten]

Die Euler-Charakteristik ist die alternierende Summe der Bettizahlen, d.h.

\begin{align}
\chi(X) &= b_0(X) - b_1(X) + b_2(X) -\cdots \\
        &= \sum_{i=0,1,\dots}^{} (-1)^i b_i(X)
\end{align}

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Hatcher, Algebraic Topology, http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Proposition 2.7

Weblinks[Bearbeiten]