Bewegungsgleichung

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Unter einer Bewegungsgleichung versteht man eine mathematische Gleichung (oder auch ein Gleichungssystem), die die räumliche und zeitliche Entwicklung eines mechanischen Systems unter Einwirkung äußerer Einflüsse vollständig beschreibt. In der Regel handelt es sich um Systeme von Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Diese Differentialgleichungen werden bei vielen Systemen nichtlinear, sodass man bei der Lösung geeignete Näherungsverfahren anwenden muss.

Prinzipien[Bearbeiten]

Zum Aufstellen von Bewegungsgleichungen in der klassischen Physik wird

verwendet. Darauf basierend ergibt sich die Bewegungsgleichung der Quantenmechanik, die Schrödingergleichung

In der Technischen Mechanik werden

verwendet.

Lösung[Bearbeiten]

Die Lösung der Bewegungsgleichung ist die Trajektorie, auf der sich das System bewegt. Sie ist, abgesehen von einigen einfachen Fällen (siehe Beispiele unten), meist nicht in analytisch geschlossener Form darstellbar und muss über numerische Methoden gewonnen werden. Dies ist z. B. zur Ermittlung der Trajektorien dreier Himmelskörper, die sich gegenseitig gravitativ anziehen, erforderlich (siehe Dreikörperproblem). Zur Lösung eines N-Teilchensystems lässt sich die discrete element method anwenden. In einfachen Fällen wird die geschlossene Lösung als „Bahngleichung“ bezeichnet.

Beispiele[Bearbeiten]

Eine allgemeine Form der Bewegungsgleichung in der klassischen Physik lautet beispielsweise


\frac{d \vec p}{dt} = \sum_i \vec F_i(\vec r,t)
.

Oder bekannter:


\frac{d \vec p}{dt} = m \cdot \vec a = \sum_i \vec F_i

Auf der linken Seite steht der Trägheitsterm für das Teilchen der Masse m, auf der rechten Seite werden alle auf das Teilchen wirkenden Kräfte  \vec F_i(\vec r,t) aufsummiert.

Bewegungsgleichung eines freien Masseteilchens[Bearbeiten]

Die Bewegungsgleichung lautet in diesem Fall


m \cdot \frac{d^2 \vec r(t)}{dt^2} = \vec F = \vec 0

mit:

  • \vec F~ : Kraft auf Teilchen (= 0),
  • m : Masse des Teilchens, und
  • \vec r(t): (zeitabhängiger) Ort des Teilchens

Die Lösung (Bahngleichung) erhält man durch zweimaliges Integrieren der Differentialgleichung:


\vec r(t) = \vec v_0 \cdot t + \vec r_0

mit den Integrationskonstanten:

  •  \vec v_0: Geschwindigkeit des Teilchens zu t=0,
  •  \vec r_0: Ort des Teilchens zu t=0

Das Teilchen bewegt sich also geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Die Masse m spielt keine Rolle.

Bewegungsgleichung eines Teilchens unter Einfluss einer konstanten Kraft[Bearbeiten]

Ein Körper der Masse m sei der Schwerkraft  m\vec g ausgesetzt:


m \cdot \frac{d^2 \vec r(t)}{dt^2} = m \cdot \vec g
.

Die Bahngleichung lautet


\vec r(t) = \frac {1} {2} \cdot \vec g \cdot t^2 + \vec v_0 \cdot t + \vec r_0

und stellt den ballistischen Parabelwurf dar. Für  \vec v_0 = 0 erhält man den freien Fall. Im Fall der Schwerkraft spielt die Masse m des Körpers also keine Rolle.

Bewegungsgleichung der Speziellen Relativitätstheorie[Bearbeiten]

In der speziellen Relativitätstheorie wird die Viererkraft definiert als die Ableitung des relativistischen Impulses p nach der Eigenzeit \tau, mit

F^\mu=\frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d \tau} = \gamma \frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d t},

wobei zwischen Eigenzeit und der Zeit t der Zusammenhang

\mathrm d \tau = \frac{1}{\gamma} \mathrm d t

gilt und \gamma den Lorentzfaktor bezeichnet.

Bewegungsgleichung der Allgemeinen Relativitätstheorie[Bearbeiten]

Die Bewegung eines Körpers wird durch die Geodätengleichung der gekrümmten Raumzeit beschrieben, sofern nur gravitative Kräfte auf ihn einwirken. Dann bewegt sich der Körper entlang einer Geodäten der Raumzeit. Die Geodätengleichung lautet

 \ddot{x}^{\mu} + \Gamma_{\lambda \nu}^{\mu} \dot{x}^{\lambda} \dot{x}^{\nu} = \ddot{x}^{\mu} + \frac{g^{\mu \rho}}{2} \left( \partial_{\lambda} g_{\nu\rho} + \partial_{\nu} g_{\lambda\rho} - \partial_{\rho} g_{\lambda\nu} \right) \dot{x}^{\lambda} \dot{x}^{\nu} = 0

wobei \Gamma_{\lambda \nu}^{\mu} ein Christoffelsymbol 2. Art ist, welches die Abhängigkeit des metrischen Tensors zum Raumzeitpunkt (Ereignis), d.h. der Krümmung der Raumzeit, charakterisiert.

Bewegungsgleichung in der Strukturdynamik[Bearbeiten]

In der Strukturdynamik ist die Bewegungsgleichung eines dynamisch belasteten Tragwerks die Grundlage der Berechnung:

  M \cdot \ddot  x(t)+  D \cdot \dot  x(t)+  K \cdot  x(t)=  f(t)

Hierbei ist f(t) der Lastvektor des Systems. M,D und K sind die Masse-, Dämpfungs- und Steifigkeitsmatrizen des Tragwerks. Der Vektor x(t) enthält die Verschiebungsgrößen. Die matrizielle Aufbereitung entsprechend den Freiheitsgraden einer Struktur eignet sich sehr gut für eine Computerberechnung, zum Beispiel nach der Finite-Elemente-Methode.

Quantenmechanisches Kastenpotential[Bearbeiten]

Eindimensionaler Quantentopf der Länge L mit unendlich hohen Wänden. Es sind nur diskrete Energieeigenwerte En erlaubt (hier sind lediglich die untersten vier Niveaus E1 bis E4 dargestellt).

In der Quantenmechanik tritt die Schrödingergleichung als Bewegungsgleichung auf. Für das einfache Problem des Teilchens im eindimensionalen Kastenpotential der Länge  L mit unendlich hohen Wänden lautet die zeitunabhängige Schrödingergleichung:


-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)+V(x)\psi(x)
=
E \psi(x)

mit

Die Energieeigenwerte  E_n sowie die zugehörigen Eigenfunktionen  \psi_{n}(x) ,  n=1,2,3,...,\infty , lauten:

  •  E_{n} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2} \cdot n^2

.

  •  \psi_{n} = \sqrt{\frac{2}{L}} \cdot \sin \left(\frac {n\pi x}{L}\right)