Biharmonische Funktion

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Eine mathematische Funktion u(x,y) heißt biharmonisch in einem Gebiet D, falls sie die sogenannte biharmonische Gleichung

\Delta\Delta u(x,y)= 0

für alle Punkte (x,y)\in D erfüllt. \Delta ist hierbei der Laplace-Operator. Die biharmonische Gleichung ist also eine partielle Differentialgleichung vierter Ordnung von u(x,y).

In der Praxis tritt diese Gleichung zum Beispiel in der Kontinuumsmechanik bei Platten auf. Die Verformung u(x,y) einer Platte in einem Punkt (x,y) gehorcht in erster Näherung der inhomogenen biharmonischen Gleichung:

\Delta\Delta u(x,y)= f(x,y)

Hier ist f(x,y) die Kraft(dichte), die auf die Platte ausgeübt wird.

Harmonische Funktionen sind auch immer biharmonische Funktionen; die Umkehrung muss aber nicht gelten.

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