Bild (Mathematik)

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Das Bild dieser Funktion ist
{A, B, D}.

Bei einer mathematischen Funktion f ist das Bild bzw. die Bildmenge oder der Bildbereich einer Teilmenge M des Definitionsbereichs die Menge der Werte aus der Zielmenge Y, die f auf M tatsächlich annimmt.[1]

Häufig werden dafür auch die Wörter Wertemenge[2] oder Wertebereich[1] benutzt, die aber bei anderen Autoren zur Bezeichnung der gesamten Zielmenge Y[3] verwendet werden. Es besteht also Verwechslungsgefahr. In Deutschland herrscht im Schulunterricht Klarheit, es wird nur der Bezeichner Wertemenge (Wertebereich) im Sinne der Bildmenge benutzt.

Definition[Bearbeiten]

Für eine Funktion  f\colon X \to Y und eine Teilmenge M von X bezeichnet man die folgende Menge als das Bild von M unter f:

f(M) := \{ f(x) \mid x \in M\}

Das Bild von f ist dann das Bild der Definitionsmenge unter f, also:

\operatorname{Bild}(f) := f(X)

Alternative Notationen[Bearbeiten]

Für f(M) wird auch die Notation f[M] verwendet.

Die englische Bezeichnung \operatorname{im} f („im“ vom englischen Wort image) für \operatorname{Bild}(f) ist ebenfalls gebräuchlich.

Im Allgemeinen nutzt man die übliche Mengennotation, um die Bildmenge darzustellen, in obigem Beispiel: \mathrm{Bild}(f) = \{A, B, D\}.

Beispiele[Bearbeiten]

Wir betrachten die Funktion  f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} (ganze Zahlen) mit f(x)\ := x^2.

  • Hierbei werden verschiedene Eingabegrößen nicht unbedingt auf verschiedene Bildmengen geschickt:
f(\{ 1, 2, 3 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\
f(\{ -3, -2, -1 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\
f(\{ -3, -2, -1, 1, 2, 3 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\
  • Insgesamt ist die Menge der Quadratzahlen das Bild der Funktion:
\operatorname{Bild}(f) = \{ 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \dotsc \}\

Eigenschaften[Bearbeiten]

Es sei f\colon X \to Y eine Funktion und M und N seien Teilmengen von X:

  • f(\varnothing) = \varnothing
  • M \subseteq N \Rightarrow f(M) \subseteq f(N)
  • f ist genau dann surjektiv, wenn \operatorname{Bild}(f) = Y.
  • f(M \cup N) = f(M) \cup f(N)
  • f(M \cap N) \subseteq f(M) \cap f(N)
    Ist f injektiv, dann gilt hier ebenfalls die Gleichheit.

Die Aussagen über Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8., überarbeitete Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6, S 106.
  2. Reinhard Dobbener: Analysis. Studienbuch für Ökonomen. 4., korrigierte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München u. a. 2007, ISBN 978-3-486-57999-4, S 12, Definition 1.12.
  3. Michael Ruzicka: Analysis I. Vorlesung vom Wintersemester 2004/2005. S. 21 (PDF; 74 kB).