Bildmaß

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Ein Bildmaß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie und dient dazu, Eigenschaften, die ein Maß in einem Maßraum $Ω$ hat, auf einen anderen Raum $Ω'$ zu übertragen. Hierbei werden mithilfe einer messbaren Funktion $g$ die verschiedenen Werte des Maßes auf $Ω$ in den Raum $Ω'$ transportiert. Das so auf $Ω'$ definierte Maß ist das Bildmaß.

Eine wichtige Rolle spielt das Bildmaß insbesondere bei der Definition der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable.

[Bearbeiten] Definition

$(Ω,Σ,μ)$ sei ein Maßraum und $g:\Omega\to\Omega'$ eine $Σ$ - $Σ'$ -messbare Funktion in einen Messraum $(Ω',Σ')$ . Dann ist

$\mu \circ g^{-1} \, : \, A \mapsto \mu(g^{-1}(A)) \;\;\;\;\; (A \in \Sigma')$

ein Maß auf $(Ω',Σ')$ , das Bildmaß von $μ$ , $g$ . $g^{-1}(A)\;$ bezeichnet dabei das Urbild von $A\;$ .

[Bearbeiten] Anwendungsbeispiel

Für eine messbare Funktion $f : \Omega' \to \overline\mathbb R$ (wobei $\overline\mathbb R := \mathbb R \cup \{-\infty, +\infty \}$ die erweiterten reellen Zahlen bezeichnet) gilt der folgende Transformationssatz für messbare Mengen $A\subseteq\Omega'\;$ :