Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms x+y, also einen Ausdruck der Form

$(x+y)^{n},\quad n\in\mathbb{N}$

als Polynom n-ten Grades in den Variablen x und y auszudrücken.

In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form $(x+y)^n$ auszumultiplizieren ist.

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Für alle Elemente $x$ und $y$ eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen $n\in\Bbb N_0$ gilt die Gleichung:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} \quad (1)$

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen $x$ und $y$. (Man beachte dabei $0^0=1$.)

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten

$\binom{n}{k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot{k!}}$  ,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit $n!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n$ ist hierbei die Fakultät von $n$ bezeichnet.

Bemerkung

Die Terme $\tbinom{n}{ k} x^{n-k}y^k$ sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl $\tbinom{n}{k}$ an das Ringelement $x^{n-k}y^k$ aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als $\Z$-Modul benutzt.

Spezialisierung

Der binomische Lehrsatz für den Fall $n=2$ heißt erste Binomische Formel.

Verallgemeinerungen

• Der binomische Lehrsatz gilt auch in beliebigen unitären Ringen, sofern nur $x$ und $y$ miteinander kommutieren, d.h. $x\cdot y = y\cdot x$ gilt.
• Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:

$(x+y)^n = x^n + \left[ \sum_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} \right] + y^n$.

• Für mehr als zwei Summanden gibt es das Multinomialtheorem.

Herleitung

Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl $n$ kann durch Vollständige Induktion erbracht werden. Für jedes konkrete $n$ kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Beispiel

$(x+y)^3=\binom{3}{0}\, x^{3} + \binom{3}{1}\, x^{2}y + \binom{3}{2}\, xy^{2} + \binom{3}{3}\, y^{3}=x^3+3\,x^2y+3\,xy^2+y^3$

$(x-y)^3=\binom{3}{0}\, x^{3} + \binom{3}{1}\, x^{2}(-y) + \binom{3}{2}\, x(-y)^{2} + \binom{3}{3}\,(-y)^{3}=x^3-3\,x^2y+3\,xy^2-y^3$

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Eine Verallgemeinerung des Theorems auf beliebige reelle Exponenten α mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn α eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:

$(x+y)^{\alpha} =x^\alpha(1+\tfrac{y}{x})^\alpha =x^\alpha\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}\left(\frac{y}{x}\right)^k =\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}x^{\alpha - k}y^{k}\quad (2)$.

Diese Reihe heißt binomische Reihe und konvergiert für alle $x,y\in\R$ mit $x>0$ und $|\tfrac{y}{x}| < 1$.

Im Spezialfall $\alpha\in\N$ geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle $x,y\in\C$ gültig, da die Reihe dann abbricht.

Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als

$\binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha (\alpha - 1)(\alpha - 2) \cdots (\alpha - k + 1)}{k!}$.

Im Fall k = 0 entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.

Für α = -1 und x = 1 ergibt sich aus (2) als Sonderfall die geometrische Reihe.

Literatur

• M. Barner, F. Flohr: Analysis I, de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6.

Weblinks

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Binomischer Lehrsatz – Lern- und Lehrmaterialien