Bochner-Integral

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Das Bochner-Integral, benannt nach Salomon Bochner, ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf Banachraum-wertige Funktionen.

Definition[Bearbeiten]

Es seien (\Omega,\mathcal A,\mu) ein \sigma-endlicher, vollständiger Maßraum und (B,\|\cdot\|) ein Banachraum.

Das Bochner-Integral \int_\Omega f\,{\rm d}\mu einer Funktion f\colon\Omega\to B ist nun folgendermaßen definiert:

Als einfache Funktion bezeichnen wir Funktionen der Gestalt

s(x)=\sum_{i=1}^m\alpha_i\chi_{X_i}(x)

mit Faktoren \alpha_i\in B und messbaren Mengen X_i\in\mathcal A, wobei \chi_{X_i} deren Indikatorfunktion bezeichnet. Das Integral einer einfachen Funktion ist nun auf naheliegende Weise definiert:

\int_\Omega s\,{\rm d}\mu:=\sum_{i=1}^m\alpha_i\mu(X_i),

wobei dies wohldefiniert, also unabhängig von der konkreten Zerlegung von s ist.[1]

Eine Funktion f\colon \Omega \rightarrow B heißt \mu-messbar, wenn es eine Folge (s_n)_{n\in\mathbb{N}} einfacher Funktionen gibt, so dass \lim_{n\to\infty}s_n(x) = f(x) für \mu-fast alle x \in \Omega gilt.[2]

Eine \mu-messbare Funktion f\colon \Omega \rightarrow B heißt Bochner-integrierbar[3], falls es eine Folge (s_n)_{n\in\mathbb{N}} einfacher Funktionen gibt, so dass

  • \lim_{n\to\infty}s_n(x) = f(x) für \mu-fast alle x \in \Omega gilt und
  • zu jedem \varepsilon > 0 ein n_0 = n_0(\varepsilon) \in \mathbb{N} existiert mit
\int_\Omega \|s_n-s_k\| {\rm d}\mu < \varepsilon für alle n, k \geq n_0.

In diesem Fall ist

\int_\Omega f\,{\rm d}\mu:=\lim_{n\to\infty}\int_\Omega s_n\,{\rm d}\mu

wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Wahl der konkreten Folge (s_n)_{n\in\mathbb{N}} mit obigen Eigenschaften.[4] Falls M \in \mathcal{A} und f\colon M \rightarrow B, so schreibt man

\int_Mf{\rm d}\mu := \int_\Omega \tilde{f}{\rm d}\mu mit \tilde{f}(x) := \left\{\begin{array}{ll}f(x)\ ,&{\rm falls}\ x \in M\ ,\\0\ ,&{\rm falls}\ x \in \Omega \setminus M,\\\end{array}\right.

sofern \tilde{f} Bochner-integrierbar ist. [5]

Messbarkeitssatz von Pettis[Bearbeiten]

Der folgende auf Billy James Pettis zurückgehende Satz charakterisiert die \mu-Messbarkeit:

Die Funktion f\colon\Omega\to B ist genau dann \mu-messbar, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

Ist B ein separabler Banachraum, so ist die zweite Bedingung automatisch erfüllt und damit entbehrlich. Insgesamt ist die \mu-Messbarkeit B-wertiger Funktionen mit diesem Satz auf die \mu-Messbarkeit skalarer Funktionen zurückgeführt.

Bochner-Integrierbarkeit[Bearbeiten]

Die folgende von Bochner gefundene äquivalente Charakterisierung Bochner-integrabler Funktionen erlaubt es, einige klassische Resultate der lebesgueschen Integrationstheorie wie z. B. den Satz von der majorisierten Konvergenz auf das Bochner-Integral zu übertragen:

Eine \mu-messbare Funktion f\colon\Omega\to B ist genau dann Bochner integrabel, wenn \|f\|:\Omega\to\mathbb{R} Lebesgue integrabel ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt ist B ein Banachraum und f, g\colon \Omega \rightarrow B sind integrierbare Funktionen.

Linearität[Bearbeiten]

Das Bochner-Integral ist linear, das heißt, für Bochner-integrierbare Funktionen f, g\colon \Omega \rightarrow B und beliebige  \alpha , \beta \in \mathbb R ist auch  \ \alpha f + \beta g \ integrierbar, und es gilt:

 \int_ \Omega \alpha f +  \beta g \, {\rm d}\mu = \alpha \cdot \int_\Omega f d\mu + \beta \cdot \int_\Omega g \, {\rm d}\mu .

Verkettung mit einem stetigen Operator[Bearbeiten]

Es sei D ein Banachraum und T \in L(B,D) ein stetiger linearer Operator. Dann ist Tf \colon \Omega \to D eine integrierbare Funktion und es gilt[6]

T \left(\int_\Omega f(x) \mathrm{d} \mu \right) = \int_\Omega T(f)(x) \mathrm{d} \mu.

Radon–Nikodym-Eigenschaft[Bearbeiten]

Der Satz von Radon-Nikodym gilt für das Bochner-Integral im Allgemeinen nicht. Banachräume, für die dieser Satz gilt, bezeichnet man als Banachräume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Reflexive Räume besitzen stets die Radon-Nikodym-Eigenschaft.[7]

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. Birkhäuser, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
  • Malempati M. Rao: Measure Theory and Integration (= Pure and Applied Mathematics. A Program of Monographs, Textbooks, and Lecture Notes. Bd. 265). 2nd edition, revised and expanded. Dekker, New York NY u. a. 2004, ISBN 0-8247-5401-8, S. 505 ff.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, Bemerkung X.2.1 (a).
  2. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 65.
  3. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 87.
  4. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, Korollar X.2.7.
  5. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 94.
  6. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 92.
  7. Joseph Diestel, John Jerry Uhl: Vector Measures (= Mathematical Surveys. Bd. 15). American Mathematical Society, Providence RI 1977, ISBN 0-8218-1515-6, Corollary III.2.13.