Bockstein-Folge

In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Bockstein-Folge ein Hilfsmittel zum Vergleich von Kohomologiegruppen mit unterschiedlichen Koeffizienten, sie ist nach Meir Bockstein benannt.

Konstruktion

Homologie

Sei

$0\rightarrow N\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0$

eine kurze exakte Sequenz abelscher Gruppen und $X$ ein topologischer Raum. Aus der kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen

$0\rightarrow C_{*}(X;N)\rightarrow C_{*}(X;G)\rightarrow C_{*}(X;H)\rightarrow 0$

erhält man mittels des Schlangenlemmas eine lange exakte Sequenz von Homologiegruppen

$\ldots \rightarrow H_{*+1}(X;H)\rightarrow H_{*}(X;N)\rightarrow H_{*}(X;G)\rightarrow H_{*}(X;H)\rightarrow H_{*-1}(X;N)\rightarrow \ldots$,

die sogenannte Bockstein-Folge oder Bockstein-Sequenz. Der verbindende Homomorphismus $H_{*}(X;H)\rightarrow H_{*-1}(X;N)$ heißt Bockstein-Homomorphismus.

Kohomologie

$0\rightarrow N\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0$ liefert auch eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen

$0\rightarrow C^{*}(X;N)\rightarrow C^{*}(X;G)\rightarrow C^{*}(X;H)\rightarrow 0$

und wieder mit dem Schlangenlemma eine lange exakte Sequenz von Kohomologiegruppen

$\ldots \rightarrow H^{*-1}(X;H)\rightarrow H^{*}(X;N)\rightarrow H^{*}(X;G)\rightarrow H^{*}(X;H)\rightarrow H^{*+1}(X;N)\rightarrow \ldots$,

die ebenfalls als Bockstein-Folge oder Bockstein-Sequenz bezeichnet wird und der verbindende Homomorphismus $H^{*}(X;H)\rightarrow H^{*+1}(X;N)$ als Bockstein-Homomorphismus.

Beispiele

• Die kurze exakte Sequenz $0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \rightarrow 0$ gibt die Bockstein-Homomorphismen

$H_{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\rightarrow H_{i-1}(X;\mathbb {Z} )$ und $H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\rightarrow H^{i+1}(X;\mathbb {Z} )$.

• Der zur kurzen exakten Sequenz $0\rightarrow \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rightarrow 0$ assoziierte Bockstein-Homomorphismus

$H^{i}(X;\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )\rightarrow H^{i+1}(X;\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$

ist von Bedeutung für die Konstruktion der Steenrod-Algebra.

• Die zu den kurzen exakten Sequenzen $0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} \rightarrow 0$ und $0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} /\mathbb {Z} \rightarrow 0$ assoziierten Bockstein-Homomorphismen

$H^{i}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\rightarrow H^{i+1}(X;\mathbb {Z} )$ und $H^{i}(X;\mathbb {C} /\mathbb {Z} )\rightarrow H^{i+1}(X;\mathbb {Z} )$

sind von Bedeutung in der Konstruktion sekundärer charakteristischer Klassen und in der Deligne-Kohomologie.

Literatur

• Bockstein, M. (1942). Universal systems of ∇-homology rings. 《C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.)》 37: 243–245. MR0008701.
• Bockstein, M. (1943). A complete system of fields of coefficients for the ∇-homological dimension. 《C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.)》 38: 187–189. MR0009115.
• Bockstein, M. (1958). Sur la formule des coefficients universels pour les groupes d'homologie. 《Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique》 247: 396–398. MR0103918.