Boltzmann-Konstante

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Zu der Konstante im Strahlungsgesetz schwarzer Körper siehe Stefan-Boltzmann-Konstante.
Physikalische Konstante
Name Boltzmann-Konstante
Formelzeichen  k \, oder  k_\mathrm{B} \,
Wert
SI  1{,}380\;6488\;(13) \cdot 10^{-23} \mathrm{J}/\mathrm{K}
Unsicherheit (rel.)  9{,}1 \cdot 10^{-7}
Gauß 8{,}617\;3324\;(78) \cdot 10^{-5} \mathrm{eV}/\mathrm{K}
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2010, Direktlink: NIST

Die Boltzmann-Konstante (Formelzeichen  k \, oder  k_\mathrm{B} \, ) ist eine Naturkonstante, die in den Grundgleichungen der statistischen Mechanik eine zentrale Rolle spielt. Sie wurde von Max Planck eingeführt und nach dem österreichischen Physiker Ludwig Boltzmann benannt,[1] einem der Begründer der statistischen Mechanik.

Wert[Bearbeiten]

Die Boltzmann-Konstante ist universal gültig und hat die Dimension Energie/Temperatur.

Ihr Wert beträgt:[2][3]


   \begin{align}
        k_\mathrm{B} &= 1{,}380\;6488\;(13) \cdot 10^{-23} \mathrm{J}/\mathrm{K} \\
                     &= 8{,}617\;3324\;(78) \cdot 10^{-5} \mathrm{eV}/\mathrm{K}.
    \end{align}

Aus der Boltzmann-Konstante berechnet sich die universelle Gaskonstante:

R_\mathrm{m} = N_\mathrm{A} \cdot k_\mathrm{B},

wobei N_\mathrm{A} [1/mol] die Avogadro-Konstante ist.

Definition und Zusammenhang mit der Entropie[Bearbeiten]

Ludwig Boltzmann

Die Ideen von Ludwig Boltzmann präzisierend,[4] lautet die von Max Planck gefundene[5] fundamentale Beziehung:

 S = k_\mathrm{B} \, \ln \Omega \,.

D.h., die Entropie S eines Makrozustands eines abgeschlossenen Systems im thermischen Gleichgewicht ist proportional zum natürlichen Logarithmus der Anzahl Ω (Ergebnisraum) der entsprechend möglichen Mikrozustände (bzw. anders ausgedrückt zum Maß der „Unordnung“ des Makrozustands). Das statistische Gewicht Ω ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Mikrozustandes.

Diese Gleichung verknüpft – über die Boltzmann-Konstante als Proportionalitätsfaktor – die Mikrozustände des abgeschlossenen Systems mit der makroskopischen Größe der Entropie und bildet die zentrale Grundlage der statistischen Physik. Sie ist in leicht abgewandelter Nomenklatur auf dem Grabstein von Ludwig Boltzmann am Wiener Zentralfriedhof eingraviert.

Die Entropieänderung ist in der klassischen Thermodynamik definiert als:

\Delta S = \int \frac{{\rm d}Q}{T}

mit der Wärmemenge Q.

Eine Entropiezunahme \Delta S > 0 entspricht einem Übergang in einen neuen Makrozustand mit einer größeren Zahl möglicher Mikrozustände. Dies ist in einem abgeschlossenen (isolierten) System stets der Fall (Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik).

In Bezug zur mikroskopischen Zustandssumme kann die Entropie auch als dimensionslose Größe festgelegt werden:

\begin{align}
                   S^{\,'} & =      \frac          {S}{k_\mathrm{B}} = \ln \Omega\\
\Rightarrow \Delta S^{\,'} & = \int \frac{\mathrm{d}Q}{k_\mathrm{B}T}.
\end{align}

In dieser „natürlichen“ Form korrespondiert die Entropie mit der Definition der Entropie in der Informationstheorie und bildet dort ein zentrales Maß. Der Term kBT stellt dabei jene Energie dar, um die Entropie S^{\,'} um ein Nit anzuheben.

Ideales Gasgesetz[Bearbeiten]

Die Boltzmann-Konstante erlaubt die Berechnung der mittleren thermischen Energie eines freien Teilchens aus der Temperatur

E_{th} = k_\mathrm{B} \, T

und tritt beispielsweise im Gasgesetz für ideale Gase als eine der möglichen Proportionalitätskonstanten auf:

p V = N \, k_\mathrm{B} \, T.

Bedeutung der Formelzeichen:

Bezogen auf Normalbedingungen (Temperatur T0 und Druck p0) und mit der Loschmidt-Konstanten N_\mathrm{L} = \frac{N}{V_0} kann die Gasgleichung umformuliert werden zu:

\begin{align}
\Leftrightarrow \frac{N}{V} & = \frac{1}{k_\mathrm{B}} \frac{p}{T}\\
                            & = \left( N_\mathrm{L} \frac{T_{0}}{p_{0}} \right) \frac{p}{T}\\
                            & = N_\mathrm{L} \frac{p}{p_{0}} \frac{T_0}{T}.
\end{align}

Zusammenhang mit der kinetischen Energie[Bearbeiten]

Allgemein ergibt sich für die mittlere kinetische Energie eines klassischen punktförmigen Teilchens im thermischen Gleichgewicht mit f Freiheitsgraden, die quadratisch in die Hamiltonfunktion eingehen (Äquipartitionstheorem):

 \langle E_{\rm kin} \rangle = \frac{f}{2} k_\mathrm{B} \, T.

So hat beispielsweise ein punktförmiges Teilchen drei Translationsfreiheitsgrade:

 \langle E_{\rm kin} \rangle = \frac{3}{2} k_\mathrm{B} \, T.

Ein zweiatomiges Molekül hat

  • ohne Symmetrie drei zusätzliche Rotationsfreiheitsgrade, also insgesamt sechs
  • mit einer Symmetrieachse zwei zusätzliche Rotationsfreiheitsgrade, also insgesamt fünf (durch Rotation entlang der Symmetrieachse kann keine Energie gespeichert werden, da das Trägheitsmoment hier vergleichsweise klein ist).

Dazu kommen bei ausreichend hohen Temperaturen noch Schwingungen der Bindungen. So hat Wasser eine extrem hohe Wärmekapazität durch eine große Zahl solcher Schwingungsfreiheitsgrade.

Rolle in der statistischen Physik[Bearbeiten]

Allgemeiner tritt die Boltzmann-Konstante in der thermischen Wahrscheinlichkeitsdichte beliebiger Systeme der Statistischen Mechanik im thermischen Gleichgewicht auf, diese lautet:

 \mathrm{Wahrscheinlichkeitsdichte}_{th} = \frac{e^{-\frac{E}{k_\mathrm{B} T}}}{Z}

mit

Beispiel aus der Festkörperphysik[Bearbeiten]

In Halbleitern besteht eine Abhängigkeit der Spannung über einen p-n-Übergang von der Temperatur, der mit Hilfe der Temperaturspannung \phi_T oder U_T beschrieben werden kann:

 \phi_T = U_T = \frac{k_\mathrm{B} \cdot T}{e}

Dabei ist

Bei Raumtemperatur (T = 300 K) beträgt der Wert der Temperaturspannung ungefähr 25 mV oder 1/40 V.

Anwendungsbereiche[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

  1. … where k is Boltzmann’s constant, introduced at that time by Planck, …“, wobei sich that time auf die Formulierung des Rayleigh-Jeans-Gesetzes (dem Grenzfall seiner Strahlungsformel für kleine Frequenzen) im Jahr 1900 bezieht. M. Jammer, The Conceptual Development of Quantum Mechanics, New York, 1966, S. 17. Dieses Gesetz ermöglichte auch die erste experimentelle Bestimmung der Boltzmann-Konstante.
  2. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatCODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juni 2011. Wert für die Boltzmann-Konstante in der Einheit J/K
  3. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatCODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juni 2011. Wert für die Boltzmann-Konstante in der Einheit eV/K
  4. Die untenstehende Formel für die Entropie findet sich zwar auf Boltzmanns Grabstein, steht aber nirgendwo explizit in seinen Werken. Er hat aber den Zusammenhang zwischen Entropie und der Zahl der Zustände klar erkannt, z. B. in den Sitzungsberichten der Wiener Akademie 1877 oder den Vorlesungen über Gastheorie, Bd. 1, 1895, S. 40, siehe Ingo Müller A history of thermodynamics, Springer, S. 102
  5. M. Planck: „Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum“, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2 (1900) Nr. 17, S. 245, Berlin (vorgetragen am 14. Dezember 1900) Onlinedokument (deutsch, pdf) archiviert vom Original (PDF; 418 kB) am 7. April 2012.

Weblinks[Bearbeiten]