Bonferroni-Methode

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Die Bonferroni-Methode oder Bonferroni-Korrektur (nach Carlo Emilio Bonferroni) ist ein Verfahren der mathematischen Statistik, mit deren Hilfe die Alphafehler-Kumulierung bei multiplen Paarvergleichen neutralisiert wird.

Sie besagt, dass, wenn man n unabhängige Hypothesen an einem Datensatz testet, die statistische Signifikanz, die für jede Hypothese getrennt benutzt werden soll, 1/n der Signifikanz ist, die sich beim Test nur einer Hypothese ergeben würde.

Beispiel[Bearbeiten]

Gegeben sei ein Experiment, in dem nach Genexpressions-Unterschieden zwischen gesunden Zellen und Krebszellen gesucht wird. Es wurden 10.000 Gene getestet. Verwendet man das übliche Signifikanzniveau (p<0,05), erhält man 587 signifikant unterschiedliche Gene. Durch Fehler durch multiples Testen werden sehr viele dieser Gene in der Realität aber nicht unterschiedlich sein. Die Bonferroni-Korrektur ergibt stattdessen als Signifikanzniveau p<0,05/10000, also p<0,000005. Mit diesem Wert erhält man 6 signifikante Gene. Dies schließt sehr viele falsch-positive Resultate aus. Die verbleibenden Resultate sind also zuverlässiger, gleichzeitig wurden jedoch auch viele real unterschiedliche Gene ausgeschlossen. Die Bonferroni-Korrektur ist also konservativer als beispielsweise die Korrektur der False Discovery Rate (FDR) nach Benjamini-Hochberg.

Hintergrund[Bearbeiten]

Untersucht man eine Hypothesenfamilie mit m\geq 2 paarweisen Vergleichen und prüft jede zugehörige Einzelhypothese zum Signifikanzniveau \mathbf\alpha', dann besteht zwischen dem Risiko des Einzeltests \mathbf\alpha' und dem multiplen Gesamtrisiko \mathbf\alpha (auch als \mathbf\alpha_{exp} bezeichnet) die folgende Ungleichung:

\mathbf\alpha' \leq \mathbf\alpha \leq m\cdot \mathbf\alpha'.

Diese Beziehung folgt aus der Bonferroni-Ungleichung (Boolesche Ungleichung) und besagt, dass das multiple Gesamtrisiko nach oben begrenzt ist. Wählt man als Signifikanzniveau für jeden Einzeltest \mathbf\alpha'=\mathbf\alpha/m, dann kann das multiple Gesamtrisiko nicht größer als \mathbf\alpha sein.

Um also das multiple Gesamtrisiko \mathbf\alpha einzuhalten, muss man in jedem Einzeltest das Signifikanzniveau \mathbf\alpha' entsprechend anpassen. Die Bonferroni-Methode ist eine sehr grobe Näherung und sehr konservativ. Deshalb wurden genauere Methoden entwickelt, die den \alpha-Fehler weniger konservativ kontrollieren und das Signifikanzniveau der multiplen Testprozedur weiter ausschöpfen (siehe Alphafehler-Kumulierung).

Bonferroni in der Signalverarbeitung[Bearbeiten]

Es liegt eine Voxel-Karte mit vielen statistischen Werten vor, bei denen einige unabhängig, andere wiederum abhängig voneinander sind. Um besondere Merkmale dieser Verteilung herauszufinden, kann die Bonferroni-Korrektur angewendet werden. Diese trifft aber nur für unabhängige Tests zu und ist für nur teilweise abhängige Tests zu streng. Daher wird sie beim Auffinden einer Signifikanz-Schranke (p-Wert oder Signifikanzniveau) in solch einer statistischen Karte, deren Werte nur teilweise abhängig, bzw. unabhängig sind, oft mit der Gaussfeld-Methode gemischt. Für einen Voxel wird dabei der niedrigere p-Wert der beiden Korrekturverfahren angegeben und so die Schranke bestimmt.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]