Borel-Hierarchie

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Schematische Darstellung eines Ausschnitts der Borel-Hierarchie: Pfeile zeigen die Übergänge zwischen den Mengensystemen an, die Pfeile mit weißen Quadraten Teilmengen-Relationen

In der Mathematik und insbesondere der deskriptiven Mengenlehre ist die Borel-Hierarchie eine stufenweise Aufteilung der Borelschen σ-Algebra zu einem topologischen Raum. Sie stellt einen konstruktiven Aufbau aller Borel-Mengen dar. Ist eine Eigenschaft über alle Borel-Mengen zu beweisen, ist dies oft mittels transfiniter Induktion über alle Ebenen der Borel-Hierarchie möglich.

Definition[Bearbeiten]

Über einem topologischen Raum (X, \mathfrak{T}) (\mathfrak{T} Menge der offenen Mengen) seien folgende Mengensysteme induktiv definiert:

\Sigma^0_1 bezeichnet also die offenen Mengen, \Pi^0_\alpha die Komplemente von \Sigma^0_\alpha-Mengen, \Sigma^0_\alpha bezeichnet die Mengen, die sich als abzählbare Vereinigung der \Pi^0_p-Mengen für p< \alpha darstellen lassen, und \Delta^0_\alpha die Mengen, die sowohl in \Sigma^0_\alpha als auch in \Pi^0_\alpha liegen.

Abschluss- und Monotonie-Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die \Sigma^0_\alpha-Mengen sind abgeschlossen unter abzählbarer Vereinigung und endlichem Schnitt.
  • Die \Pi^0_o-Mengen sind abgeschlossen unter abzählbarem Schnitt und endlicher Vereinigung.
  • Die \Delta^0_\alpha-Mengen sind abgeschlossen unter endlichem Schnitt, endlicher Vereinigung und Komplementbildung.
  • Die \Sigma^0_\alpha-Mengen (ebenso wie auch die \Pi^0_\alpha-Mengen und die \Delta^0_\alpha-Mengen) sind abgeschlossen unter stetigen Urbildern, das heißt:

Für eine stetige Funktion f:X\to Y zwischen topologischen Räumen X und Y ist f^{-1}(A) wiederum eine \Sigma^0_\alpha-Menge (\Pi^0_\alpha-Menge, \Delta^0_\alpha-Menge), falls A \subseteq Y eine \Sigma^0_\alpha-Menge (\Pi^0_\alpha-Menge, \Delta^0_\alpha-Menge) ist.

  • \Sigma^0_\alpha \subseteq \Delta^0_{\alpha+1} \supseteq \Pi^0_\alpha für alle abzählbaren Ordinalzahlen \alpha. In überabzählbaren polnischen Räumen (welche stets die Kardinalität \beth_1 haben) sind diese Inklusionen immer strikt, während in abzählbaren polnischen Räumen \Sigma^0_2 bereits alle Teilmengen des Raumes enthält.

Bezug zur Borelschen σ-Algebra[Bearbeiten]

Die Vereinigung aller Mengensysteme der Borel-Hierarchie bildet genau die Borelsche σ-Algebra, d. i. die kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen des topologischen Raumes enthält.

Dass jede Menge in der Borelhierarchie in der Borelschen σ-Algebra enthalten sein muss, folgt unmittelbar aus den Abschlusseigenschaften einer σ-Algebra: Gäbe es Mengen in der Borel-Hierarchie, die nicht in der Borelschen σ-Algebra enthalten sind, so gäbe es eine kleinste Ordinalzahl n, sodass \Sigma^0_n eine solche enthält (denn die Ordinalzahlen sind wohlgeordnet), was äquivalent dazu ist, dass \Pi^0_n eine solche enthält, da σ-Algebren abgeschlossen unter Komplementbildung sind. Dieses Element ist jedoch Vereinigung abzählbar vieler Elemente von \textstyle \bigcup_{m<n} \Pi^0_m, welche alle Borel-Mengen sind. Somit müsste das Element ebenfalls in der σ-Algebra enthalten sein, da σ-Algebren abgeschlossen bzgl. abzählbarer Vereinigung sind.

Umgekehrt sind alle offenen Mengen in der Borel-Hierarchie enthalten und die Mengen der Borel-Hierarchie sind abgeschlossen unter Komplementbildung und abzählbarer Vereinigung: Ersteres folgt unmittelbar aus der Definition der \Pi^0_n als Komplemente, zweiteres lässt sich wie folgt zeigen: Seien abzählbar viele in der Borel-Hierarchie auftretende Mengen S_0, S_1, S_2, \ldots gegeben. Für jedes i \in \mathbb{N} existiert eine Ordinalzahl \alpha_i, sodass S_i \in \Sigma^0_{\alpha_i}, schließlich treten die Mengen in der Hierarchie auf. Für das Supremum \hat{\alpha} := \sup_{i \in \mathbb{N}} \alpha_i gilt dann \textstyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} S_i \in \Sigma^0_{\hat{\alpha}}, und das Supremum einer Menge von Ordinalzahlen ist ihre Vereinigung, somit ist \hat{\alpha} abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen und somit wiederum eine abzählbare Ordinalzahl. Nun wird auch deutlich, wieso gerade abzählbare Ordinalzahlen gewählt worden sind.

Bezug zur projektiven Hierarchie[Bearbeiten]

Über polnischen Räumen wird ausgehend von der Borel-Hierarchie die projektive Hierarchie definiert, welche auf den analytischen Mengen, den Projektionen von Borel-Mengen, aufbaut. Nach Suslins Theorem sind die Borel-Mengen in einem polnischen Raum genau die Mengen, die analytisch sind und deren Komplement ebenfalls analytisch ist.

Duale Definition über abgeschlossene Mengen[Bearbeiten]

Die Borel-Hierarchie lässt sich ebenfalls ausgehend von den abgeschlossenen Mengen definieren:

  • \Pi^0_1 sei die Menge aller abgeschlossenen Mengen.
  • \Sigma^0_\alpha:=\left\{S \subseteq X | X \setminus S \in \Pi^0_\alpha \right\} für jede abzählbare Ordinalzahl \alpha\geq 1.
  • \textstyle \Pi^0_\alpha:=\left\{S \subseteq X | \exists A_0, A_1, A_2, \ldots \in \bigcup_{p<\alpha}\Sigma^0_\alpha: S=\bigcap_{i \in \mathbb{N}} A_i \right\} für jede abzählbare Ordinalzahl \alpha > 1.

Die \Pi^0_\alpha-Mengen werden also als abzählbarer Schnitt von \Sigma^0_p-Mengen für p<\alpha definiert.

Nomenklatur[Bearbeiten]

Felix Hausdorff hat folgende Bezeichnungen für die Stufen der Hierarchie zu endlichen Ordinalzahlen eingeführt: F_\sigma:=\Sigma^0_2, G_\delta:=\Pi^0_2, F_{\sigma \delta}:=\Pi^0_3, G_{\delta \sigma}:=\Sigma^0_3, F_{\sigma \delta \sigma}:=\Sigma^0_4, G_{\delta \sigma \delta}:=\Pi^0_4 etc. Die einheitliche Notation \Sigma^0_\alpha, \Pi^0_\alpha, \Delta^0_\alpha, die auch die Analogie zur arithmetischen Hierarchie in der Rekursionstheorie andeutet, wurde von John Addison 1959 eingeführt. [2].

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Descriptive Set Theory (PDF; 643 kB), lecture notes by David Marker, 2002
  2. Addison, John W.: Separation principles in the hierarchy of classical and effective descriptive set theory, Fundamenta Mathematicae XLVI, s.123-135, 1959. pdf.