Parabolische Untergruppe

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In der Mathematik ist der Begriff der parabolischen Untergruppen ein wichtiger Begriff aus der Theorie der Algebraischen Gruppen und allgemeiner der Theorie der Lie-Gruppen. Minimale parabolische Gruppen heißen Borel-Gruppen. Klassisches Beispiel einer (minimalen) parabolischen Gruppe ist die Gruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen als Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe.

Eine andere, nicht äquivalente, Verwendung des Begriffs "parabolische Untergruppe" findet sich in der Theorie der Kleinschen Gruppen oder der Theorie der Konvergenzgruppen: hier ist eine parabolische Untergruppe eine Gruppe, deren Elemente parabolische Isometrien mit demselben Fixpunkt sind.

Lie-Gruppen[Bearbeiten]

Es sei G eine Lie-Gruppe und \mathfrak{g} ihre Lie-Algebra.

Sei \mathfrak{a}\subset\mathfrak{g} eine Cartan-Unteralgebra und (\mathfrak{a},R) das zugehörige Wurzelsystem. Man wähle eine Weyl-Kammer \mathfrak{a}^+\subset\mathfrak{a} und bezeichne mit R^+\subset R die entsprechenden positiven Wurzeln. Es seien \Delta\subset R^+ die einfachen Wurzeln.

Minimale parabolische Untergruppe[Bearbeiten]

Die minimale parabolische Untergruppe ist die Unter-Lie-Gruppe

P\subset G

mit Lie-Algebra

\mathfrak{p}=\mathfrak{z}(\mathfrak{a})\oplus \sum_{\alpha\in R^+}\mathfrak{g}_\alpha,

wobei \mathfrak{z}(\mathfrak{a}) den Zentralisator von \mathfrak{a} und \mathfrak{g}_\alpha den Wurzelraum der positiven Wurzel \alpha bezeichnet.

Langlands-Zerlegung[Bearbeiten]

Man hat die Zerlegung

\mathfrak{p}=\mathfrak{n}\oplus\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{m}

mit

\mathfrak{n}=\sum_{\alpha\in R^+}\mathfrak{g}_\alpha

und \mathfrak{m}=\mathfrak{k}\cap \mathfrak{z}(\mathfrak{a}), wobei \mathfrak{k} die Lie-Algebra mit \mathfrak{g}=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}, also die Lie-Algebra einer maximal kompakten Gruppe K\subset G bezeichnet, insbesondere \mathfrak{z}(\mathfrak{a})=\mathfrak{m}\oplus\mathfrak{a}.

Die entsprechende Zerlegung

P=NAM

heißt die Langlands-Zerlegung von P.

Parabolische Untergruppen[Bearbeiten]

Die parabolischen Untergruppen entsprechen den Teilmengen I\subset\Delta (die minimale parabolische Untergruppe entspricht der Teilmenge \emptyset\subset \Delta), man erhält sie mit folgender Konstruktion, wobei R^I\subset R^+ die Linearkombinationen von Elementen in I, sowie \alpha^\vee\in\mathfrak{a}^* das mittels der Killing-Form definierte Dual von \alpha\in\mathfrak{a} und \mathfrak{a}^I das orthogonale Komplement (bzgl. der Killing-Form) von \mathfrak{a}_I bezeichnet.

Wir betrachten

\mathfrak{a}_I:=\bigcup_{\alpha\in I}ker(\alpha^\vee)\subset \mathfrak{a}
\mathfrak{n}_I:=\sum_{\alpha\in R^+\setminus R^I}\mathfrak{g}_\alpha\subset\mathfrak{n}
\mathfrak{m}_I:=\mathfrak{m}\oplus\mathfrak{a}^I\oplus\sum_{\alpha\in R^I}\mathfrak{g}_\alpha\supset\mathfrak{m}

und

\mathfrak{p}_I:=\mathfrak{a}_I\oplus \mathfrak{n}_I \oplus \mathfrak{m}_I.

\mathfrak{p}_I ist die „Standard-parabolische Unteralgebra“ von \mathfrak{g} zu I\subset R^+. Man beachte, dass die Standard-parabolischen Unteralgebren von der Wahl der positiven Weyl-Kammer \mathfrak{a}^+ abhängen.

Eine Unteralgebra \mathfrak{p}\subset\mathfrak{g} heißt parabolische Unteralgebra, wenn sie konjugiert zu einer Standard-parabolischen Unteralgebra \mathfrak{p}_I für eine Weyl-Kammer \mathfrak{a}^+ und eine Teilmenge I\subset\Delta ist.

Die zugehörige parabolische Untergruppe P\subset G einer parabolischen Unteralgebra \mathfrak{p}\subset\mathfrak{g} ist definiert als der Normalisator von \mathfrak{p} in G.

Für eine Weyl-Kammer \mathfrak{a}^+ und eine Teilmenge I\subset\Delta bezeichnet man mit P_I die zu \mathfrak{p}_I zugehörige parabolische Untergruppe. Jede parabolische Untergruppe P_I enthält die minimale parabolische Untergruppe P_\emptyset\subset G.

Auch in diesem Fall hat man wieder die Langlands-Zerlegung

P_I=M_IA_IN_I.

Die Bezeichnung „parabolische Unteralgebra“ bzw. „parabolische Untergruppe“ geht auf Godement zurück.[1]

Beispiel SL(n,R)[Bearbeiten]

Eine Cartan-Unteralgebra der Lie-Algebra

\mathfrak{sl}(n,\R)=\left\{A\in Mat(n,\R)\colon \operatorname{Spur}(A)=0\right\}

ist

\mathfrak{a}=\left\{(\operatorname{diag}(t_1,\ldots,t_n)\colon t_1+\ldots+t_n=0\right\}.

Als positive Weyl-Kammer kann man

\mathfrak{a}^+=\left\{(\operatorname{diag}(t_1,\ldots,t_n)\in\mathfrak{a}\colon t_1>t_2>\ldots>t_n\right\}

wählen. Dann ist \mathfrak{n} die Lie-Algebra der oberen Dreiecksmatrizen mit 0-en auf der Diagonalen und \mathfrak{m}=0.

Die Langlands-Zerlegung von P_\emptyset ist

P_\emptyset=MAN

mit

M=\left\{\operatorname{diag}(\pm 1,\ldots,\pm 1)\right\},
A=\left\{\operatorname{diag}(a_1,\ldots,a_n)\colon a_1,\ldots,a_n>0,a_1\ldots a_n=1\right\},
N die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen mit 1-en auf der Diagonalen.

Die Borel-Gruppe P_\emptyset ist also die Gruppe B der oberen Dreiecksmatrizen, jede andere Borel-Gruppe ist zu B konjugiert.

Die maximalen standard-parabolischen Untergruppen, d. h. diejenigen, für die \Delta\setminus I aus nur einem Element besteht, sind

P_k=\left\{\begin{pmatrix}A&B\\
0&D\end{pmatrix}\in SL(n,\R)\colon A\in M_{k\times k}, B\in M_{k\times n-k}, D\in M_{n-k\times n-k}\right\}

für k=1,\ldots,n-1.

Algebraische Gruppen[Bearbeiten]

Eine parabolische Untergruppe einer über einem Körper k definierten algebraischen Gruppe G ist eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe P\subset G, für die der Quotient G/P eine projektive Varietät ist.

Man kann zeigen, dass eine Untergruppe P\subset G genau dann parabolisch ist, wenn sie eine Borel-Untergruppe enthält. (Eine Borel-Untergruppe B\subset G ist eine maximale Zariski-abgeschlossene, zusammenhängende, auflösbare, algebraische Untergruppe.) Borel-Untergruppen sind also minimale parabolische Gruppen. Im Fall k=\R oder k=\C stimmt die Definition mit der oben gegebenen überein.

Beispiel[Bearbeiten]

Eine Borel-Untergruppe von G=SL(n,\C) ist die Gruppe B der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen. In diesem Fall ist der Quotient G/B die Fahnenvarietät.

Jede Borel-Untergruppe von SL(n,\C) ist zu B konjugiert. Allgemeiner gilt für algebraische Gruppen über algebraisch abgeschlossenen Körpern, dass es genau eine Konjugationsklasse von Borel-Untergruppen gibt.

Kleinsche Gruppen[Bearbeiten]

Im Kontext Kleinscher Gruppen wird der Begriff "Parabolische Untergruppe" häufig mit einer anderen Bedeutung gebraucht, nämlich als Gruppe parabolischer Isometrien, die einen gemeinsamen Fixpunkt haben und demzufolge die Horosphären um diesen Punkt auf sich abbilden.[2] Diese Verwendung ist nicht äquivalent zu der oben beschriebenen.

Allgemeiner wird eine Untergruppe einer Konvergenzgruppe als parabolische Untergruppe bezeichnet, wenn sie unendlich ist, einen globalen Fixpunkt besitzt und keine loxodromischen Elemente enthält.

Literatur[Bearbeiten]

  • Borel, Armand; Ji, Lizhen: Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2006. ISBN 978-0-8176-3247-2; 0-8176-3247-6

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Borel, Armand: Essays in the history of Lie groups and algebraic groups. History of Mathematics, 21. American Mathematical Society, Providence, RI; London Mathematical Society, Cambridge, 2001. ISBN 0-8218-0288-7 (Chapter VI, Section 2)
  2. Bowditch, B. H.: Discrete parabolic groups. J. Differential Geom. 38 (1993), no. 3, 559–583.