Portmanteau-Test

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Portmanteau-Tests sind statistische Tests, mit deren Hilfe für mehrere Autokorrelationskoeffizienten getestet werden kann, ob sie sich signifikant von null unterscheiden. Dies ist vor allem bei der Prüfung der Autokorrelationsfreiheit der Residuen im Rahmen der Diagnosephase einer Zeitreihenanalyse wichtig.

Portmanteau-Tests sind reine Signifikanztests. Sie testen nicht gegen eine klar formulierte Gegenhypothese.

Die Teststatistik wird Q-Statistik genannt.

Box/Pierce[Bearbeiten]

Die ursprüngliche Version des Tests stammt von Box/Pierce (1970).

Die Hypothesen für diesen Test lauten:

H_0\colon \rho_1(\hat{Z_t})= \dots =\rho_K(\hat{Z_t})=0\, und
H_1\colon \rho_l(\hat{Z_t})\neq0\, gilt für mindestens ein l.

Dabei ist \rho_l(\hat{Z_t}) die (empirische) Autokorrelation der Reihe (\hat{Z_t}) zum Lag (der zeitlichen Verschiebung) l und K die Anzahl der zu testenden Autokorrelationen.

Die Teststatistik ist hier

Q_{BP}=T\sum_{l=1}^K \rho^2_l(\hat{Z_t})\,,

wobei T der Umfang des Datensatzes ist.

Diese Prüfgröße ist unter der Nullhypothese χ2-verteilt mit \nu = K - p - q Freiheitsgraden; H_0 kann also verworfen werden, falls

Q_{BP}>\chi^2_{\nu;1-\alpha}\,.

Die Auswahl eines geeigneten Wertes für K ist problematisch. Ist K zu niedrig, greift die Asymptotik der \chi^2-Approximation nicht. Auch ein zu großes K hat nicht gewünschte Effekte. Für die Bestimmung von K kann folgende Faustregel verwendet werden:

K\approx{2}\sqrt{T}\,.

Ljung/Box[Bearbeiten]

Da der Box-Pierce-Test nur bei langen Zeitreihen mit mehr als 100 Zeitreihenwerten zufriedenstellend arbeitet, wird von Ljung/Box (1978) eine abgewandelte Teststatistik herangezogen. Dabei wird T durch T(T+2)/(T-K) ersetzt. Als Teststatistik ergibt sich:

Q_{LB}=T(T+2)\sum_{l=1}^K\frac{1}{T-l}\rho^2_l(\hat{Z_t}) .

Literatur[Bearbeiten]

  • Box, G.E.P.; Pierce, D.A.: Distribution of Residual Correlations in Autoregressive-Integrated Moving Average Time Series Models; Journal of the American Statistical Association, Vol. 65, 1509-1526, 1970.
  • Ljung, G.M.; Box, G.E.P.: On a Measure of Lack of Fit in Time Series Models; Biometrika 65, Nr. 2, 297-303, 1978.