Brückenschaltung

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Dieser Artikel behandelt die Brückenschaltung; für die ebenfalls so genannte Schaltung siehe Wheatstonesche Messbrücke.
Brückenschaltung mit Spannungsquelle

Eine Brückenschaltung – auch H-Schaltung, H-Brücke oder Vollbrücke genannt – ist eine elektrische Schaltung, bei der in der Grundform fünf Zweipole in Form des Großbuchstabens H zusammengeschaltet sind. Die Querverbindung heißt Brückenzweig.

Prinzip[Bearbeiten]

Eine Brückenschaltung aus Widerständen kann man als Parallelschaltung zweier Spannungsteiler interpretieren, zwischen deren Ausgangsklemmen der Brückenzweig liegt. Der Vorteil der Brückenschaltung gegenüber einem einzelnen Spannungsteiler besteht darin, dass man die Spannung und den Strom im Brückenzweig je nach Einstellung der Widerstände nicht nur in der Höhe sondern auch in der Polarität verändern kann.

Hierbei wird bei Brückenschaltungen zwischen Viertel- (ein Widerstand variabel), Halb- (zwei Widerstände variabel) und Vollbrücken (vier Widerstände variabel) unterschieden.

Das Messobjekt – ein Widerstand oder eine andere Impedanz – ist Teil des Spannungsteilers auf der einen Seite. Mindestens ein weiteres Teil wird variabel ausgeführt, so dass ein Nullabgleich des Stroms (bzw. des Spannungsunterschieds) im Brückenzweig durchgeführt werden kann, der eine besonders präzise Wertermittlung erlaubt, da ein Nulldurchgang wesentlich genauer bestimmt werden kann als ein Extremum. Das Messinstrument im verbindenden Brückenzweig kann üblicherweise zwischen negativen und positiven Werten unterscheiden und liefert damit auch einen Hinweis, in welcher Richtung geändert werden muss. Der Abgleich erfolgt so lange, bis das Instrument so exakt wie möglich eine Nullanzeige liefert. Dazu ist das Instrument bei manchen Messbrücken in seiner Empfindlichkeit umschaltbar, so dass man von einem Grob- zum Feinabgleich wechseln kann. Die Impedanz des Messobjekts wird durch die Einstellung des verstellbaren Brückenglieds angezeigt (oder aus dessen angezeigtem Wert berechnet).

Nur zur Messung rein ohmscher Widerstände kann man die Messbrücke mit Gleichspannung betreiben. Zur Messung von Impedanzen (Spulen oder Kondensatoren) ist ein Betrieb mit Wechselspannung notwendig, der auch für ohmsche Widerstände günstig sein kann. Nicht notwendig, aber hilfreich ist in diesen Fällen die Anzeige der Phasenlage, um die Richtung der Verstimmung anzuzeigen. Siehe auch bei Wechselspannungsbrücke.

Verwendet man nicht einen Nullabgleich, sondern das Ausschlagverfahren, dann kann aus Betrag und Phase der Diagonalspannung die Impedanz berechnet werden. So können auch die (äquivalenten) Verlustwiderstände von Spulen oder Kondensatoren bestimmt werden, ohne dass diese im anderen Brückenzweig nachgebildet werden müssen.

Berechnung[Bearbeiten]

Eine Brückenschaltung kann am besten durch die Kirchhoff’schen Regeln beschrieben werden. Dazu stellt man zuerst die Knoten- und Maschengleichungen auf. Optional kann man die daraus hergeleiteten Zusammenhänge auch in einer Matrixgleichung darstellen. Eine besondere Herausforderung ist hierbei die Berechnung des Gesamtschaltungswiderstandes, wie dies später erläutert wird.

Aufstellen der Knoten- und Maschengleichungen[Bearbeiten]

Beim Aufstellen der Knoten- und Maschengleichungen gehen wir in diesem Beispiel von der Annahme aus, dass die Ströme in Richtung des Spannungspfeils fließen. Ist diese Annahme für einen Strom falsch, so ergibt sich für den Betrag des jeweiligen Stromes ein negatives Vorzeichen, wodurch sich jedoch nicht die Gültigkeit der Gleichungen ändert. Aus den Kirchoff’schen Regeln resultieren schließlich die folgenden Knotengleichungen:

+ I_0 + I_1 + I_3 = 0
- I_0 - I_2 - I_4 = 0
- I_1 + I_2 - I_5 = 0
- I_3 + I_4 + I_5 = 0\, .

Durch die Maschenregel erhält man die folgenden Gleichungen:

- U_0 + U_1 + U_2 = 0
+ U_0 - U_1 - U_4 + U_5 = 0
+ U_0 - U_2 - U_3 - U_5 = 0
- U_0 + U_3 + U_4 = 0
+ U_1 + U_2 - U_3 - U_4 = 0
- U_1 + U_3 + U_5 = 0
+ U_2 - U_4 + U_5 = 0\, .

Hierbei sind die Gleichungen nicht vollständig linear unabhängig, weshalb man eine Gleichung weglassen kann.

Zusätzlich gilt für die einzelnen Widerstände der Zusammenhang

\left\{U_n = R_n\, I_n \left| n\in \mathbb{N}_0 \land n \in \left[0,5 \right] \right.\right\}

oder ausgeschrieben:

U_0 = R_0\, I_0\qquad U_1 = R_1\, I_1\qquad U_2 = R_2\, I_2
U_3 = R_3\, I_3\qquad U_4 = R_4\, I_4\qquad U_5 = R_5\, I_5\, .

Hierbei stellt der Widerstand R_0 den Widerstand der Schaltung aus der Sicht der Spannungsquelle dar.

Matrixdarstellung der Knoten- und Maschengleichungen[Bearbeiten]

Die Matrixdarstellung ist eine Hilfe bei großen Gleichungssystemen und daher insbesondere bei großen Schaltungen. Um die Matrixdarstellung zu ermitteln, setzt man für die einzelnen Spannungen das jeweilige Produkt aus Widerstand und Strom ein. Daraus erhält man:


\begin{pmatrix}
1& 1& 0& 1& 0& 0\\
-1& 0& -1& 0& -1& 0\\
0& -1& 1& 0& 0& -1\\
0& 0& 0&-1& 1& 1
\\-R_0& R_1& R_2& 0  & 0  & 0
\\ R_0&-R_1& 0  & 0  &-R_4& R_5
\\ R_0& 0  &-R_2&-R_3& 0  &-R_5
\\-R_0& 0  & 0  & R_3& R_4& 0
\\ 0  & R_1& R_2&-R_3&-R_4& 0
\\ 0  &-R_1& 0  & R_3& 0  & R_5
\\ 0  & 0  & R_2& 0  &-R_4& R_5
\end{pmatrix}\,
\begin{pmatrix}I_0\\I_1\\I_2\\I_3\\I_4\\I_5\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
I_0+I_1+I_3\\
-I_0-I_2-I_4\\
-I_1+I_2-I_5\\
-I_3+I_4+I_5\\
-U_0+U_1+U_2\\
U_0-U_1-U_4+U_5\\
U_0-U_2-U_3-U_5\\
-U_0+U_3+U_4\\
U_1+U_2-U_3-U_4\\
-U_1+U_3+U_5\\
U_2-U_4+U_5\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0
\end{pmatrix}\, .

Die Matrixdarstellung wird bevorzugt zur Verwendung in Computeralgebrasystemen oder in Schaltungssimulatoren verwendet, da etwa mit dem Gauß- und dem Gauß-Jordan-Algorithmus sowie der cramerschen Regel effiziente Lösungsalgorithmen existieren. Im gegebenen Beispiel ist die cramersche Regel jedoch nur auf eine Teilmatrix anwendbar, da die Determinante der linken Matrix aufgrund der oberen vier Reihen immer Null sein würde.

Berechnung des Schaltungswiderstandes[Bearbeiten]

Die Berechnung von R_0 kann anhand der über die Kirchoff’schen Regeln aufgestellten Beziehungen erzielt werden. Eine schnellere Variante stellt die folgende Vorgehensweise dar:

  1. Zuerst wird R_5 = \infty angenommen, wodurch eine Unterbrechung entsteht. Dadurch ergibt sich die Gleichung:
  2.  : R'_\infty = \left(R_1 + R_2\right)\|\left(R_3 + R_4\right)
  3. Anschließend wird R_5 = 0 gesetzt und dadurch kurzgeschlossen. Dadurch erhält man die Gleichung:
  4.  : R'_0 = R_2\|R_4 + R_1\|R_3
  5. Nun ermittelt man den Widerstand aus Sicht von R_5, wobei die Spannungsquelle unendlich gesetzt wird:
  6.  : R'_5 = \left(R_2 + R_4\right)\|\left(R_1 + R_3\right)
  7. Dies kann man in die folgende Gleichung einsetzen, welche vorab mit Hilfe der durch die Kirchhoff’schen Regeln ermittelten Formeln und Vereinfachung ermittelt wurde:
  8.  : R_0 = \frac{R'_0}{1 + \frac{R_5}{R'_5}} + \frac{R'_\infty}{1 + \frac{R'_5}{R_5}}\, .

Alternativ und mit weniger Rechenaufwand, lässt sich R' auch mit Hilfe der Stern-Dreieck-Transformation berechnen. Dazu werden R_1, R_3 rsp. R_2, R_4 sowie R_5, durch ihr Sternäquivalent ersetzt. Dadurch ergibt sich eine einfache Schaltung mit je zwei Reihenwiderständen parallel und das ganze in Reihe mit einem fünften Widerstand.

Abgleichbedingung[Bearbeiten]

Eine Brückenschaltung wird als abgeglichen bezeichnet, wenn I_5=0 und damit kein Strom des einen Brückenzweigs in den anderen fließt. Ist dies der Fall, gilt:

I_L = I_1 = I_2;\quad I_R = I_3 = I_4\, .

Daraus folgt der Zusammenhang:

\frac{U_1}{U_2}=\frac{U_3}{U_4}

\Leftrightarrow \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_4}{U_3}
\Leftrightarrow\frac{I_L\,R_1}{I_L\,R_2} = \frac{I_R\,R_3}{I_R\,R_4}
\Leftrightarrow\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}
\Leftrightarrow R_1\,R_4 = R_2\,R_3\, .

Explizite Lösungen[Bearbeiten]

Für diejenigen, die diese Seite aufsuchen, weil sie konkrete Aufgaben zur Brückenschaltung lösen müssen:

Das folgende Gleichungssystem (in Matrixdarstellung) ist nicht redundant, enthält also eine Mindestzahl unabhängiger Aussagen und ist nach den Regeln der Matrixinversion lösbar.


\begin{pmatrix}
-1& 1& 0& 1& 0& 0\\
0& 1& -1& 0& 0& -1\\
0& 0& 0& 1& -1& 1
\\0& R_1& R_2& 0  & 0  & 0
\\0&0& 0  &R_3&R_4& 0
\\ 0  &-R_1& 0  &-R_3& 0  & R_5
\end{pmatrix}\,
\begin{pmatrix}I_0\\I_1\\I_2\\I_3\\I_4\\I_5\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
U_0\\
U_0\\
0\\
\end{pmatrix}\, .

Seien also die Widerstandswerte und die Quellspannung U_0 gegeben.

Dann gilt für die Hilfsgröße N - das ist der Wert der Determinante der links stehenden Koeffizientenmatrix –

N = R_5 (R_1 + R_2 )(R_3 + R_4) + R_1 R_2 (R_3 + R_4) + (R_1 + R_2) R_3 R_4

Hiermit

I_0 = U_0 (R_5 (R_1 + R_2 + R_3 + R_4) + (R_1 + R_3) (R_2 + R_4))/N

R_0 = U_0 / I_0 = N / (R_5 (R_1 + R_2 + R_3 + R_4) + (R_1 + R_3) (R_2 + R_4))

I_1 = U_0 (R_4 R_5 + R_3 (R_2 + R_4 + R_5)) /N

U_1 = I_1 R_1 = U_0 R_1 (R_4 R_5 + R_3 (R_2 + R_4 + R_5)) /N

I_2 = U_0 (R_3 R_5 + R_4 (R_1 + R_3 + R_5)) /N

U_2 = I_2 R_2 = U_0 R_2 (R_3 R_5 + R_4 (R_1 + R_3 + R_5)) /N

I_3 = U_0 (R_2 R_5 + R_1 (R_2 + R_4 + R_5)) /N

U_3 = I_3 R_3 = U_0 R_3 (R_2 R_5 + R_1 (R_2 + R_4 + R_5)) /N

I_4 = U_0 (R_1 R_5 + R_2 (R_1 + R_3 + R_5)) /N

U_4 = I_4 R_4 = U_0 R_4 (R_1 R_5 + R_2 (R_1 + R_3 + R_5)) /N

I_5 = U_0 (R_2 R_3 - R_1 R_4) /N

U_5 = I_5 R_5 = U_0 R_5 (R_2 R_3 - R_1 R_4) /N

Ist die Brücke abgeglichen, also I_5 = 0, gilt

U_5 = 0

R_5 ist beliebig. (Die abgeglichene Brücke (nur die!) darf daher nach Wunsch bei Berechnungen als aufgetrennt oder kurzgeschlossen im Querglied betrachtet werden, also R_5 gleich unendlich oder null.)

R_0 = (R_1 + R_2)  (R_3 + R_4) / (R_1 + R_2 + R_3 + R_4)

I_0 = U_0 / R_0 = U_0 (R_1 + R_2 + R_3 + R_4) / ((R_1 + R_2)(R_3 + R_4))

U_1 = U_3,  U_2 = U_4

I_1 = I_2 = U_0 / (R_1 + R_2), I_3 = I_4 = U_0 / (R_3 + R_4)

Dabei ist einer der vier Längswiderstände durch die übrigen drei festgelegt, denn

R_2 R_3 = R_1 R_4

Anwendungen[Bearbeiten]

Die Brückenschaltung dient unter anderem als Grundlage für folgende Schaltungen:

Energietechnik bzw. Leistungselektronik[Bearbeiten]

Messtechnik[Bearbeiten]

Nachrichtentechnik[Bearbeiten]