Breit-Wigner-Formel

Breit-Wigner-Verteilung

Die Breit-Wigner-Verteilung (nach Gregory Breit und Eugene Wigner) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

$p(E) = \frac{1}{2\pi}\frac{\Gamma}{(E-M)^2+\Gamma^2/4}$.

Γ ist die volle Breite der Kurve auf halber Maximalhöhe (FWHM), M ist der Wert der Abszisse E beim Maximum.

Die Breit-Wigner-Verteilung wird manchmal auch als Lorentz-Kurve oder Cauchy-Verteilung (vor allem in der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie) bezeichnet.

Physikalische Bedeutung

Die Verteilung hat physikalische Bedeutung in der Beschreibung von Resonanzkurven, z. B. in der Kernphysik, Teilchenphysik oder für den getriebenen harmonischen Oszillator.

In der Teilchenphysik wird für die Energiespektren besonders kurzlebiger Teilchen häufig die relativistische Breit-Wigner-Formel verwendet

$p(E) \sim \frac{1}{\left(E^2-M^2\right)^2+M^2\Gamma^2}$.

Beispiel: Z⁰-Boson

Messergebnisse für Z⁰-Zerfall mit daran angepasster Breit-Wigner-Kurve

Speziell für den Zerfall des Z⁰-Bosons ergibt sich die Breit-Wigner-Formel zu

$\sigma_{i\rightarrow f}(s)=12\pi (\hbar c)^2\cdot \frac{\Gamma_i \cdot \Gamma_f}{(s-M_Z^2c^4)^2+M_Z^2c^4\Gamma_{\text{tot}}^2}$

Hierbei ist Γ_i die Partialbreite des Eingangskanals (Partialbreite für den Zerfall $Z^0\rightarrow e^+e^-$), Γ_f die Partialbreite des Ausgangskanals, s die Energie im Schwerpunktssystem und Γ_tot die Summe der Partialbreiten für alle möglichen Zerfälle in Fermion-Antifermion-Paare.

Beispiel: Resonanzkurve eines Schwingers

Die Resonanzkurve kann mittels der Lorentz-Kurve beziehungsweise Cauchy-Verteilung beschrieben werden:

$F(f) = \frac{1}{\pi} \frac{s}{s^2 + (f - f_0)^2}.$

Hierbei ist f₀ die Resonanzfrequenz und der Parameter s beschreibt die Güte der Kurve. Das Maximum wird bei f₀ erreicht und beträgt $F(f_0) = \frac{1}{\pi s}$.

Für den Spezialfall s = 1 ist das Integral lösbar und hat über dem reellen Intervall den Wert 1:

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,\mathrm dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} \,\mathrm dx = \frac{1}{\pi} (\arctan(\infty) - \arctan(-\infty)) = \frac{1}{\pi} (\pi/2 - (-\pi/2)) = 1.$

Das Verhältnis Q nennt man die Güte des Schwingers und kann auch in Funktion des Parameters s ausgedrückt werden

$Q = {f_0 \over {B}} = \frac{\sqrt{f_1 f_2}}{B} = \frac{\sqrt{f_0^2 - s^2 (\sqrt{2}-1)}}{2 s \sqrt{\sqrt{2}-1}}$,

dabei ist f₀ das geometrische Mittel $f_0 = { \sqrt{f_1 f_2} }$ aus der oberen f₂ und der unteren Grenzfrequenz f₁. Die Grenzfrequenzen f₁ bzw. f₂ sind diejenigen Frequenzen bei denen die Grösse (z.B. Spannung U) auf den $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707$ -fachen Wert des Maximalwertes F(f₀) zurückgehen. Die Grenzfrequenzen können in Funktion des Parameters s wie folgt ausgedrückt werden:

$f_{1,2} = f_0 \pm s \sqrt{\sqrt{2}-1}.$

Die Bandbreite ist die Differenz der Grenzfrequenzen B = f₂ − f₁. Der Parameter s kann in Funktion der Güte Q wie folgt ausgedrückt werden:

$s = \frac{f_0}{\sqrt{(4Q^2-1) (\sqrt{2}-1)}}.$

Weblinks

• Rudy Bock's home page
• Veröffentlichung der Breit-Wigner Kurve