Bremsstrahlung

Erzeugung von Röntgenbremsstrahlung durch Abbremsung eines schnellen Elektrons in dem Coulombfeld eines Atomkerns (schematische Darstellung)

Bremsstrahlung ist die elektromagnetische Strahlung, die entsteht, wenn ein geladenes Teilchen, zum Beispiel ein Elektron, beschleunigt wird. Jede Geschwindigkeitsänderung eines geladenen Teilchens erzeugt Strahlung. Von Bremsstrahlung im engeren Sinne spricht man, wenn Teilchen in Materie gebremst werden.

Auftreten bzw. Anwendung der Bremsstrahlung

Bei Teilchenbeschleunigern (vor allem beim Synchrotron) und bei Speicherringen wird bei der Ablenkung von geladenen Teilchen durch ein Magnetfeld Bremsstrahlung frei, die in diesen Zusammenhängen Synchrotronstrahlung genannt wird.

Der Effekt der Bremsstrahlung wird in Röntgenröhren zur Erzeugung von Röntgenstrahlung verwendet. Dabei schießt man Elektronen mit einer kinetischen Energie ab 30 keV auf eine Metallplatte, die häufig aus Wolfram besteht. Ein kleiner Teil der beim Abbremsen frei werdenden Energie wird in Röntgenstrahlung mit einem kontinuierlichen Spektrum umgewandelt.

Spektralverteilung der Bremsstrahlung einer Röntgenröhre

Spektrum von Röntgenstrahlung einer Kupferanode. Die horizontale Achse zeigt den Ablenkwinkel nach Bragg-Reflexion an einem LiF-Kristall

Das Spektrum hat zu kurzen Wellenlängen hin eine der kinetischen Energie der Elektronen entsprechende Grenzwellenlänge, d. h. die gesamte kinetische Energie der Elektronen wird in Röntgenstrahlung umgewandelt. Diese Grenzwellenlänge hängt also nur von der durchlaufenen Beschleunigungsspannung (Anodenspannung) ab, sie ist unabhängig vom Anodenmaterial. Die Form des Spektrums hängt von der Geschwindigkeitsverteilung der Elektronen und dem verwendeten Metall ab.

Die kürzeste mögliche Wellenlänge (siehe auch Duane-Hunt-Gesetz) tritt auf, wenn die gesamte kinetische Energie des Elektrons in ein einziges Photon umgewandelt wird:

$E_\text{Photon} = \hbar\omega = E_\text{kinetisch} = eU$

Sie beträgt

${\lambda_\mathrm{min}} = \frac{h \cdot c}{e \cdot U}$

mit

c - Lichtgeschwindigkeit

h - Plancksches Wirkungsquantum

e - Elementarladung, Elektronenladung

U - Beschleunigungsspannung, Anodenspannung der Röntgenröhre

Durch Einsetzen der Naturkonstanten ergibt sich die zugeschnittene Größengleichung

${\lambda_\mathrm{min}} = \frac{1{,}24\cdot 10^{-6}\,\mathrm{V}\cdot \mathrm{m}}{U}$  

An dieser Gleichung sieht man, dass die untere Grenzwellenlänge ${\lambda_\mathrm{min}}$ nur von der Beschleunigungsspannung $U$ abhängig ist. Bei einer Beschleunigungsspannung von 25 kV beträgt sie 0,05 nm. Diese Strahlung vermag bereits normales Glas und dünne Aluminiumplatten zu durchdringen. Daher müssen bei Farb-Bildröhren, die mit Beschleunigungsspannungen von 25 bis 27 kV (Schwarzweiß-Bildröhre: ca. 18 kV) arbeiten, Maßnahmen zum Strahlenschutz getroffen werden. Man verwendet daher Bleioxid-haltiges Glas für den Kolben.

Die kontinuierliche Intensitätsverteilung der Bremsstrahlung, wenn Elektronen in ein Material eintreten, folgt der Kramerschen Regel:

$J({\lambda}) = K \cdot I \cdot Z \cdot \left(\frac{\lambda}{\lambda_\mathrm{min}}-1\right) \cdot \frac{1}{\lambda^2}$

mit

J - Intensitätsfunktion, in Photonen pro Sekunde

K - die so genannte Kramersche Konstante

I - Elektronenstrom

Z - Ordnungszahl der Atome des Materials

Bei realen Spektren von Röntgenemissionen wird die entstehende Bremsstrahlung durch verschiedene Effekte überlagert. Hinzu kommt insbesondere die charakteristische Strahlung, die ein Emissionsspektrum der Atome des Materials darstellt, sowie dessen Absorptionsbanden, da die Bremsstrahlung unter der Materialoberfläche entsteht.

Quantenmechanische Beschreibung

Die vollständig quantenmechanische Beschreibung wurde zum ersten Mal durch Bethe und Heitler durchgeführt . Sie nahmen ebene Materiewellen für Elektronen an, die an dem Kern eines Atoms gestreut werden, und leiteten damit einen Streuquerschnitt ab, der die vollständige Geometrie des Prozesses in Zusammenhang mit der Frequenz des emittierten Photons bringt. Der vierfach differentielle Streuquerschnitt, der eine quantenmechanische Symmetrie zur Paarerzeugung zeigt, lautet:

$\begin{align} d^4\sigma &= \frac{Z^2\alpha_{fine}^3\hbar^2}{(2\pi)^2}\frac{|\vec{p}_f|}{|\vec{p}_i|} \frac{d\omega}{\omega}\frac{d\Omega_i d\Omega_f d\Phi}{|\vec{q}|^4}\times \\ &\times \left[ \frac{\vec{p}_f^2\sin^2\Theta_f}{(E_f-c|\vec{p}_f|\cos\Theta_f)^2}\left (4E_i^2-c^2\vec{q}^2\right)\right. \\ &+ \frac{\vec{p}_i^2\sin^2\Theta_i}{(E_i-c|\vec{p}_i|\cos\Theta_i)^2}\left (4E_f^2-c^2\vec{q}^2\right) \\ &+ 2\hbar^2\omega^2\frac{\vec{p}_i^2\sin^2\Theta_i+\vec{p}_f^2\sin^2\Theta_f}{(E_f-c|\vec{p}_f|\cos\Theta_f)(E_i-c|\vec{p}_i|\cos\Theta_i)} \\ &- 2\left.\frac{|\vec{p}_i||\vec{p}_f|\sin\Theta_i\sin\Theta_f\cos\Phi}{(E_f-c|\vec{p}_f|\cos\Theta_f)(E_i-c|\vec{p}_i|\cos\Theta_i)}\left(2E_i^2+2E_f^2-c^2\vec{q}^2\right)\right]. \end{align}$

Dabei sind $Z$ die Ordnungszahl, $\alpha_{fine}\approx 1/137$ die Feinstrukturkonstante, $\hbar$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum und $c$ die Lichtgeschwindigkeit. Die kinetische Energie $E_{kin,i/f}$ des Elektrons im Anfangs- bzw. Endzustand hängt durch

$E_{i,f}=E_{kin,i/f}+m_e c^2=\sqrt{m_e^2 c^4+\vec{p}_{i,f}^2 c^2},$

wobei $m_e$ die Elektronenmasse ist, mit seiner totalen Energie $E_{i,f}$ bzw. seinem Impuls $\vec{p}_{i,f}$ zusammen. Energieerhaltung liefert

$E_f=E_i-\hbar\omega,$

wobei $\hbar\omega$ die Photonenenergie ist. Die Richtungen des emittierten Photons und des gestreuten Elektrons sind gegeben durch

$\begin{align} \Theta_i&=\sphericalangle(\vec{p}_i,\vec{k}),\\ \Theta_f&=\sphericalangle(\vec{p}_f,\vec{k}),\\ \Phi&=\text{Winkel zwischen den Ebenen } (\vec{p}_i,\vec{k}) \text{ und } (\vec{p}_f,\vec{k}), \end{align}$

wobei $\vec{k}$ der Impulsvektor des Photons ist.

Die Differentiale sind gegeben durch

$\begin{align} d\Omega_i&=\sin\Theta_i\ d\Theta_i,\\ d\Omega_f&=\sin\Theta_f\ d\Theta_f. \end{align}$

Der Betrag des virtuellen Photons zwischen Kern und Elektron lautet

$\begin{align} -\vec{q}^2&=-|\vec{p}_i|^2-|\vec{p}_f|^2-\left(\frac{\hbar}{c}\omega\right)^2+2|\vec{p}_i|\frac{\hbar}{c} \omega\cos\Theta_i-2|\vec{p}_f|\frac{\hbar}{c} \omega\cos\Theta_f\\ &+2|\vec{p}_i||\vec{p}_f|(\cos\Theta_f\cos\Theta_i+\sin\Theta_f\sin\Theta_i\cos\Phi). \end{align}$

Die Gültigkeit ist durch die Born-Näherung

$v\gg\frac{Zc}{137}$

gegeben, wobei diese Relation sowohl fuer die Geschwindigkeit $v$ des Elektrons im Anfangs- wie im Endzustand bezeichnet.

Für praktische Anwendungen (z.B. in Monte Carlo Codes) kann es von Interesse sein, den Schwerpunkt auf die Relation zwischen der Frequenz $\omega$ des emittierten Photons und des Winkels zwischen diesem Photon und dem einlaufenden Elektron zu legen. Köhn und Ebert integrierten den vierfach differentiellen Streuquerschnitt von Bethe und Heitler über $\Phi$ und $\Theta_f$ und erhielten:

$\frac{d^2\sigma (E_i,\omega,\Theta_i)}{d\omega d\Omega_i }=\sum\limits_{j=1}^{6} I_j$

mit

$\begin{align} I_1&=\frac{2\pi A}{\sqrt{\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}} \ln\left( \frac{\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i-\sqrt{\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2 \Theta_i}(\Delta_1+\Delta_2)+\Delta_1\Delta_2}{-\Delta_2^2-4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i -\sqrt{\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2 \Theta_i}(\Delta_1-\Delta_2)+\Delta_1\Delta_2 }\right) \\ &\times\left[1+\frac{c\Delta_2}{p_f(E_i-cp_i\cos\Theta_i)}-\frac{p_i^2c^2\sin^2\Theta_i} {(E_i-cp_i\cos\Theta_i)^2}-\frac{2\hbar^2\omega^2p_f\Delta_2}{c(E_i-cp_i\cos \Theta_i)(\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)}\right],\\ I_2&=-\frac{2\pi Ac}{p_f(E_i-cp_i\cos\Theta_i)}\ln\left( \frac{E_f+p_fc}{E_f-p_fc}\right), \\ I_3&=\frac{2\pi A}{\sqrt{(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i }} \\ &\times\ln\Bigg(\Big((E_f+p_fc)(4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i(E_f-p_fc)+(\Delta_1+\Delta_2) ((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc) \\ &-\sqrt{(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}))\Big)\Big((E_f-p_fc) (4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i(-E_f-p_fc) \\ &+(\Delta_1-\Delta_2) ((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)-\sqrt{(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}))\Big)^{-1} \Bigg) \\ &\times\left[-\frac{(\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)(E_f^3+E_fp_f^2c^2)+p_fc(2 (\Delta_1^2-4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)E_fp_fc+\Delta_1\Delta_2(3E_f^2+p_f^2c^2))}{(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}\right.\\ &-\frac{c(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)}{p_f(E_i-cp_i\cos\Theta_i)} \\ &-\frac{4E_i^2p_f^2(2(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2-4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)(\Delta_1E_f+\Delta_2p_fc)}{((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)^2} \\ &+\left.\frac{8p_i^2p_f^2m^2c^4\sin^2\Theta_i(E_i^2+E_f^2)-2\hbar^2\omega^2p_i^2\sin^2\Theta_ip_fc(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)+ 2\hbar^2\omega^2p_f m^2c^3(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)} {(E_i-cp_i\cos\Theta_i)((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)}\right], \\ I_4&=-\frac{4\pi Ap_fc(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)}{(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i} -\frac{16\pi E_i^2p_f^2 A(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2}{((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)^2}, \\ I_5&=\frac{4\pi A}{(-\Delta_2^2+\Delta_1^2-4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i) ((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)}\\ &\times\left[\frac{\hbar^2\omega^2p_f^2}{E_i-cp_i\cos\Theta_i}\right.\\ &\times\frac{E_f[2\Delta_2^2(\Delta_2^2-\Delta_1^2)+8p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i(\Delta_2^2+\Delta_1^2)] +p_fc[2\Delta_1\Delta_2(\Delta_2^2-\Delta_1^2)+16\Delta_1\Delta_2p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i]}{\Delta_2^2+4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i}\\ &+ \frac{2\hbar^2\omega^2 p_i^2\sin^2\Theta_i(2\Delta_1\Delta_2 p_fc+2\Delta_2^2E_f+8p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i E_f)}{E_i-cp_i\cos\Theta_i}\\ &+\frac{2E_i^2p_f^2\{2(\Delta_2^2-\Delta_1^2)(\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2 +8p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i[(\Delta_1^2+\Delta_2^2)(E_f^2+p_f^2c^2) +4\Delta_1\Delta_2E_fp_fc]\}}{((\Delta_2E_f+\Delta_1p_fc)^2+4m^2c^4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)}\\ &+\left.\frac{8p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i(E_i^2+E_f^2)(\Delta_2p_fc +\Delta_1 E_f)}{E_i-cp_i\cos\Theta_i}\right],\\ I_6&=\frac{16\pi E_f^2p_i^2\sin^2\Theta_i A}{(E_i-cp_i\cos\Theta_i)^2 (-\Delta_2^2+\Delta_1^2-4p_i^2p_f^2\sin^2\Theta_i)}, \end{align}$

und

$\begin{align} A &= \frac{Z^2\alpha_{fine}^3}{(2\pi)^2}\frac{|\vec{p}_f|}{|\vec{p}_i|} \frac{\hbar^2}{\omega} \\ \Delta_1&= -\vec{p}_i^2-\vec{p}_f^2-\left(\frac{\hbar}{c}\omega\right)^2+2\frac{\hbar}{c}\omega|\vec{p}_i|\cos\Theta_i, \\ \Delta_2&= -2\frac{\hbar}{c}\omega|\vec{p}_f|+2|\vec{p}_i||\vec{p}_f|\cos\Theta_i. \end{align}$

Eine Analyse des obigen zweifach differentiellen Streuquerschnittes zeigt beispielsweise, dass Elektronen, deren kinetische Energie größer ist als die Ruheenergie (511 keV), Photonen überwiegend in Vorwärtsrichtung aussenden, wohingegen Elektronen mit geringerer Energie Photonen isotrop emittieren.

Weblinks

•  Commons: Bremsstrahlung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
• http://www.desy.de/pr-info/Roentgen-light/roentgenstrahlung/roentgenstrahlung8.html
• Spektrum der Röntgenbremsstrahlung
• Bremsstrahlung, historisch