Brennpunkt (Geometrie)

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Brennpunktseigenschaft

Mit Hilfe von Brennpunkten - in der Regel zwei - können verschiedene geometrische Kurven konstruiert werden, insbesondere Kegelschnitte.

So ist eine Ellipse die Menge der Punkte, die von den zwei Brennpunkten eine bestimmte Abstandssumme, zumeist als 2a bezeichnet, aufweisen. Der Abstand eines der beiden Brennpunkte zum Mittelpunkt der Ellipse, gewöhnlich mit e gekennzeichnet, wird lineare Exzentrizität genannt. Zieht man von einem Punkt der Ellipse die Verbindungsgeraden zu den zwei Brennpunkten, so liegen die beiden Geraden spiegelbildlich zur Tangente in dem Punkt (Reflexionseigenschaft).

Auch eine Hyperbel besitzt zwei Brennpunkte; in diesem Falle ist für jeden Punkt der Hyperbel die Abstandsdifferenz von diesen Punkten konstant.

Eine Parabel hat nur einen Brennpunkt, da sie als Grenzfall einer Ellipse entsteht, wenn man den zweiten Brennpunkt ins Unendliche rücken lässt. Der Brennpunkt einer Parabel mit Gleichung y = ax^2 (Scheitelpunkt im Ursprung) ist gegeben durch F \left(0\left|\frac{1}{4a}\right.\right). Die Reflexionseigenschaft ist die Grundlage für den Parabolspiegel.

Der Kreis kann als weiterer Grenzfall einer Ellipse aufgefasst werden, bei dem ihre beiden Brennpunkte (im Kreismittelpunkt) zusammenfallen.